quimica

CALCULO

C A P I T U L O N O. 1

1.4.- D E S I G U A L D A D E S

OBJETIVO: Que el alumno conozca y maneje las reglas empleadas en la resolución de
desigualdades y las use para determinar el conjunto solución de una desigualdad
dada y sepa indicar el resultado mediante las tres formas vistas.

1.4.1.- Definición de Desigualdad.Una desigualdad, llamada también inecuación por algunosautores, es una expresión matemática,
específicamente del álgebra, que nos indica que un cierto conjunto de números son mayores,
menores y/o iguales a una cantidad dada. Por ejemplo:
•

(2x2 + 3x – 2) < (4x + 1)

En este primer caso, la desigualdad nos indica que todas los valores de “ x “ que satisfacen a
( 2x2 + 3x – 2 ), deben ser estrictamente menores que ( 4x + 1 ).
•

(6x – 3) > (x2 +2)

En este segundo caso, la desigualdad nos indica que todas los valores de “ x “ que satisfacen a
( 6x – 3 ), deben ser estrictamente mayores que ( x2 + 2 ).
•

( x – 6) ≥ 9

En este tercer caso, la desigualdad nos indica que todas los valores de “ x “ que satisfacen a
( x – 6 ), deben ser mayores o iguales a 9.
•

3x2 + 5≤ ( 8x + 2 )

En este cuarto caso, la desigualdad nosindica que todas los valores de “ x “ que satisfacen al valor
absoluto de ( 3x2 + 5 ), deben ser menores o iguales a ( 8x + 2 ).
Dado que las desigualdades siempre están dadas mediante una expresión matemática que contiene
variables, la solución de ellas siempre es una región del plano. A diferencia de las ecuaciones, que
son igualdades, en las que la solución siempre es un conjunto bien definidode valores cuya
cardinalidad está dada por el orden de la ecuación.
1.4.2.- Propiedades de las Desigualdades.
Para resolver las desigualdades se observan las mismas reglas del álgebra, por lo que podemos
efectuar las siguientes operaciones:
37
M. C. J. A G U S T I N F L O R E S

AVILA

CALCULO

•

C A P I T U L O N O. 1

Si le sumamos el mismo numero a ambos miembros de unadesigualdad sin importar el signo, la
dirección de la desigualdad NO se altera.
Es decir,

si A > B

De la misma forma,
•

C>0

y

si A > B

A+C>B+C

entonces
y

C< 0

A–C>B-C

entonces

Si multiplicamos ambos miembros de una desigualdad por un numero positivo la dirección de la
desigualdad NO se altera.
Es decir,

•

si A > B

y

C>0

entonces

A*C>B*C

Simultiplicamos ambos miembros de una desigualdad por un numero negativo la dirección de la
desigualdad se invierte.
Es decir,

si A > B

y C< 0

A*C (x – 9)
Solución:
Agrupamos del lado izquierdo de la desigualdad las incógnitas y del lado derecho las constantes
empleando las reglas señaladas.
4x – x > -9 + 8
Hacemos las operaciones elementales contenidas en cada miembro y despejamos elcoeficiente de la
variable “ x “ que en este caso es “ 3 “ obteniendo así la solución pedida.
3x > 1
x > -1/3
La solución son todos los reales estrictamente mayores que –1/3.
La solución dada como un intervalo adopta la siguiente forma:
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M. C. J. A G U S T I N F L O R E S

AVILA

CALCULO

C A P I T U L O N O. 1

x ∈ ( -1/3, ∞ )
La solución dada en notación de conjuntos adopta lasiguiente forma:
S = { x / x ∈ ℜ y x > -1/3 }
La representación gráfica de la solución la mostramos enseguida:
Los reales que se encuentran en esta región
Satisfacen la desigualdad.

-1/3

0

1.4.3.2.- Resolución Gráfica.
Dado que al resolver una desigualdad lineal estamos operando sobre dos expresiones de este tipo y
como estas siempre representan rectas, entonces, resolver ladesigualdad no es otro cosa que
determinar el punto de intersección de las dos rectas y, a partir de él, identificar la región en la cual
una de las rectas es mayor, menor y/o igual a la otra según sea la desigualdad. A partir de tal punto
una de las rectas estará sobre o por debajo de la otra y este comportamiento es el que determina la
solución.
Por ejemplo, en la desigualdad anterior, la...