quimica

Departamento de Matem´tica Aplicada
a
´
MATEMATICAS. Grado en CC. Qu´
ımicas(Curso 2013-14)
Hoja 1
1 La ecuaci´n de estado de un gas ideal viene dada por la expresi´n
o
o
pV = nRT
donde p es la presi´n, V el volumen, n es el n´mero de moles del gas, R es una constante fija
o
u
(R = 8, 31451) y T es la temperatura.
a) Para unos valores determinados de p y n, (p = p0 , n = n0 ),representar gr´ficamente el
a
volumen (en ordenadas) como funci´n de la temperatura (en abcisas) y hallar la expresi´n de
o
o
dV
.
dT
b) Para unos valores determinados de T y n, (T = T0 , n = n0 ), representar gr´ficamente el
a
volumen (en ordenadas) como funci´n de la presi´n (en abcisas) y hallar la expresi´n de dV .
o
o
o
dp
2 Hallar la primera derivada de las siguientes funciones:
x2+ 7x − 3
b)f (y) = (y 3 − 7)3
2
at + b
d)V (x) = x−n , n ∈ N
e)V (t) =
ct + d
√
√
√
g)y(x) = 1 + 1 + x h)T (r) = (r + 1)e−r
a)f (x) = −

2
z3 2
αu + βu + γ
f )V (u) = 2
u /a + u/b + 1/c
c)f (z) = −

i)H(s) = s2 sen5 s + s cos s

1

1

k)K(α) = (eα + α) α l)J(x) = (x4 + 1) ln(x)

j)M (x) = xx

3 Calcular las derivadas de las siguientes funciones en el punto indicado:1
2z 3 + 1
, x = m2
b)f (z) =
, z = −1
4
m
αz
2 +1
c)V (t) = (t − 1)2 et
+ log(t), t = 2 d)H(u) = 2 + βu3 − β 6 , u = αβ.
u

a)f (x) = mx2 + mx +

4 Calcular las derivadas que se indican:
( 2 (
))
)
d4 (
1
d
d
3
a) 4 (1 − 2x)
b)
z 2
dx
dz
dz
1+z
)
(
(
)
d
d
d ( −u )
2
2
2
2 d
d)
c)
(y + a ) (y − a )
u
ue
.
dy
dy
du
du
5 Hallar la derivada

dydx

derivando impl´
ıcitamente las expresiones

a)x2 + y 2 = 9

b) sen(y) cos(x) + ln(x) = 7y, (x > 0)
1 1/2
3
4
c)x3 + sen(y) − y 2 + 4 = 0 d)y 2 ex + y 3 ex = (x2 +
)
y+1

6 Para cada uno de los apartados del problema anterior, calcular
dy
impl´
ıcitamente y comprobar que se obtiene dx · dx = 1.
dy

dx
dy

derivando de nuevo

7 La ecuacion de estado de un gasimperfecto viene dada por la expresion
(p +

n2 a
)(V − nb) − nRT = 0
V2

donde p, V, n, R y T representan las mismas cantidades f´
ısicas que en el ejercicio 1 y a, b son
dos constantes que dependen del gas y miden la ´
ımperfeccion’ del gas.
a) Comprobar que si a = b = 0, entonces el gas es ideal y se recupera la ecuacion de estado de
un gas ideal.
b) Comprobar que la ecuacion de estado sepuede escribir tambi´n como
e
V 3 − n(b +

RT 2 n2 a
n3 ab
)V +
V −
=0
p
p
p

c) Considerando la presion p y el n´mero de moles n constantes, calcular dV
u
dT
d) Considerando la temperatura T y el n´mero de moles n constantes, calcular
u
dp
comprobar que dV · dV = 1.
dp
e) Vamos a suponer que tenemos n = 1, de forma que la ecuacion de estado queda
(p +
Calcular,

( ∂p )
∂V,
T

(

( ∂V )
∂T

p

y

∂T
∂p

(

)

dV
dp

y

dp
dV

y

a
)(V − b) − RT = 0
V2

y comprobar que se obtiene la relacion
V

∂p
∂V

(

)
·
T

∂V
∂T

(

)
·
p

∂T
∂p

)
= −1
V

ex − e−x
ex + e−x
8 Las funciones senh x =
y cosh x =
, se llaman seno hiperb´lico y coseno
o
2
2
hiperb´lico, respectivamente:
o
o
1. Probar lassiguientes identidades hiperb´licas
cosh2 (x) − senh2 (x) = 1
senh(x ± y) = senh(x) cosh(y) ± cosh(x) senh(y)
cosh(x ± y) = cosh(x) cosh(y) ± senh(x) senh(y).
o
o
2. Calcula la derivada de las funciones senh(x), cosh(x) y de la funci´n tangente hiperb´lica:
senh(x)
tanh(x) = cosh(x) .
3. Hacer un esbozo de las gr´ficas de senh(x) y cosh(x). Comprobar que senh(x) = − senh(−x)
a
y cosh(x) =cosh(−x).

Departamento de Matem´tica Aplicada
a
´
MATEMATICAS. Grado en CC. Qu´
ımicas(Curso 2013-14)
Hoja 2
ıticos (basta con las abscisas) de las siguientes funciones y usar el criterio
1 Hallar los puntos cr´
de la segunda derivada para decidir, cuando sea posible, si en ellos hay un m´ximo local, un
a
m´
ınimo local o un punto de inflexi´n:
o
a)f (x) = 2x3 + 3x2
b)f (z) = 2z...