Quimica

*ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS DE PRIMER ORDEN

1. Funciones Homogéneas de grado n

Definición: Diremos que una función

f(x, y) es homogénea de grado n si f(tx, ty) = tnf(x, y) ,

siw=yx =>fx,y=xng(w)

si w=xy=>fx,y=ynh(w)
donde n es una constante y t > 0.

Las funciones homogéneas indican un comportamiento particular cuando cambiamos la escala de sus variables. Seutilizan con bastante frecuencia en hidrodinámica y termodinámica.

Ejemplo: La siguiente función:

f(x, y) = x2 + y2 ln(yx)

es una función homogénea de grado 2, ya que:

f(tx, ty) = (tx)2 +(ty)2 ln(tytx) => f(tx,ty=t2[x2+y2ln(yx)]=t2f(x,y)

Ejercicios: Muestre que
f(x, y) = ysen(xy)es homogénea de grado ½; f(x,y)=ey/x+tan⁡(yx) es homogénea de grado 0

2. Ecuaciones DiferencialesHomogéneas

Definición una ecuación diferencial ordinaria de primer orden

P(x; y)dx + Q(x; y)dy = 0 ;

será una ecuación diferencial con coeficientes homogéneos si:
Q(x; y) y P(x; y) sonhomogéneas de grado n

Teorema Si los coeficientes P(x; y) y Q(x; y) de una ecuación diferencial son homogéneos de orden n, entonces la siguiente sustitución: y = ux, convertirá la ecuación diferencialen una ecuación diferencial donde las variables son separables.

Demostración Como P(x; y) y Q(x; y) son funciones homogéneas de orden n (hipótesis) entonces:
P(x; y) = xn f(u) y Q(x; y) = xng(u) ;

sustituyendo en la ecuación diferencial:

xn f(u)dx + xn g(u)(udx + xdu) = 0
[f(u) + ug(u)] dx + xg(u)du = 0
[f(u) + ug(u)] dxx +g(u)du =0
donde x ≠ 0 y f(u) + ug(u) ≠ 0.

Ejercicios:Demuestre que la sustitución x = uy también convierte la ecuación diferencial en una de variables separables.
Nótese que exigir que Q(x; y) y P(x; y) sean funciones homogéneas de grado n, equivale aimponer que
dy(x)dx=P(x,y)Q(x,y)≡F(yx) donde F(yx)
es Homogénea de grado 0 ;

Con lo cual estamos diciendo que si los coeficientes Q(x; y) y P(x; y) son funciones homogéneas degrado n, la...