Quimica

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LA DERIVADA
Nuestro mundo es cambiante. Las variaciones de una cantidad inciden en que otras cantidades cambien. Si se decide aumentar el precio de un artículo la utilidad de la empresa ya no será la misma, probablemente la demanda disminuya y la cantidad de materia solicitada cambiará. Si se aumenta la temperatura de un gas contenido en un recipiente hermético la presión del gas sobre lasparedes del recipiente aumenta. Si aumentamos nuestro consumo diario de azucares probablemente aumente la insulina en sangre. El cálculo diferencial trata del estudio del cambio de una cantidad cuando otra cantidad que está relacionada con la primera varía.

CONCEPTO
TASA DE CAMBIO PROMEDIO
En una relación lineal entre dos variables: y = mx + b , sabemos que la pendiente m es la razón decambio entre las variables y y x . La razón de cambio es constante si la relación entre las variables es lineal. El problema empieza a complicarse cuando pensamos en relaciones entre las variables que no son lineales. Normalmente se piensa que una de las variables es función de la otra. Esto es y = f (x) . Normalmente habrá puntos de la gráfica de la función donde suben más que en otros puntos yotros incluso bajan. Una manera de medir la relación entre los cambios de dos variables relacionadas es a través de la tasa o razón de cambio promedio. Definición.- Sea f definida en un intervalo conteniendo los puntos x1 y x 2 . Se define la tasa de cambio promedio de la función y = f (x) desde x = x1 a x = x 2 como

f ( x 2 ) − f ( x1 ) x 2 − x1

Observe que esta tasa de cambio promedio no esotra cosa que la pendiente de la recta que une los puntos ( x1 , f ( x1 )) y ( x 2 , f ( x 2 )) llamada la recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos ( x1 , f ( x1 )) y ( x 2 , f ( x 2 )) .

Si denotamos ∆ y = f ( x 2 ) − f ( x1 ) como el cambio en y y ∆ y f ( x 2 ) − f ( x1 ) = entonces la tasa de cambio puede ser escrita como ∆x x 2 − x1

∆ x = x 2 − x1 el cambio en x,

2Observaciones: 1) Cuando el cambio en y, ∆ y, es positivo se habla del incremento de y 2) La tasa de cambio promedio es un cociente de cambios ó un cociente de diferencia. 3) La tasa de cambio promedio es conocida también como la razón de cambio promedio. La tasa de cambio puede ser positiva y esto corresponde cuando el cambio en y es positivo al pasar de un punto x1 a un punto x 2 ( x1 < x 2 ) opuede ser negativo y esto corresponde al caso en que y disminuye o decrece.

Ejemplo 1.- El tamaño de una población está modelada por P(t ) = 5000 + 500t − 50t 2 donde t es el número de años después del 2001. Calcule la razón de cambio promedio de a) t = 2 a t = 4 . b) t = 2 a t = 3 y c) t = 2 a t = 2 1 . 2 Solución: a) La razón de cambio promedio de t = 2 a t = 4 viene dada por P( 4) − P (2)5000 + 500 ⋅ 4 − 50 ⋅ 16 − (5000 + 500 ⋅ 2 − 50 ⋅ 4) 400 = = = 200 hab/año 4− 2 4− 2 2 b) La razón de cambio promedio de t = 2 a t = 3 viene dada por P(3) − P (2) 5000 + 500 ⋅ 3 − 50 ⋅ 9 − (5000 + 500 ⋅ 2 − 50 ⋅ 4) = = 250 hab/año 3− 2 3− 2 c) La razón de cambio promedio de t = 2 a t = 2 1 viene dada por 2 P( 2 1 ) − P ( 2) 2 21 − 2 2 = 5000 + 500 ⋅ 2,5 − 50 ⋅ ( 2.5) 2 − (5000 + 500 ⋅ 2 − 50 ⋅ 4)137.5 = = 275 2,5 − 2 0.5

Observe que entre el lapso de tiempo de t = 2 a t = 4 el crecimiento promedio de la población fue de 200 hab/año. Este es un crecimiento promedio porque efectivamente en la primera parte de este periodo el crecimiento promedio de la población fue mayor: de 250 habitantes por año, con lo cual deducimos que en la segunda parte el crecimiento debió de ser menor a 200. Enel primer semestre del año t = 2 el crecimiento era de 275 habitantes por año. Así que todo parece indicar que en el lapso de t = 2 a t = 4 , la población aumentaba más rápidamente al comienzo que al final. En este ejemplo estamos hablando en algún sentido de la velocidad. El concepto físico de velocidad está estrechamente ligado con el concepto de tasa de cambio promedio y de derivada.

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