Quimica

Geometría.
ÍNDICE:
1. Operaciones con vectores.
Producto escalar.
Producto vectorial.
Producto mixto.
Coordenadas del punto medio de un segmento.
2. Ecuaciones de las rectas.
Vectorial.
Paramétricas.
Continua.
Como intersección de 2 planos.
3. Ecuaciones de los planos.
Vectorial.
Paramétricas.
General.
4. Procedimientos para el cálculo de las ecuaciones de las rectas. Puntosalineados.
5. Procedimientos para el cálculo de las ecuaciones de los planos. Puntos coplanarios.
6. Posiciones entre rectas y planos.
Posiciones de 2 planos. Haz de planos paralelos.
Posiciones de 3 planos.
Posiciones de una recta y un plano.
Posiciones de 2 rectas.
7. Ángulo entre rectas y planos.
Ángulo entre dos rectas.
Ángulo entre 2 planos.
Ángulo entre una recta y un plano.
8.Distancias. Punto simétrico respecto a un plano y a una recta.
Entre 2 puntos.
Entre 1 punto y un plano
Entre 2 planos.
Entre 1 punto y una recta
Entre rectas paralelas
Entre rectas que se cruzan
9. Plano mediador y bisector.
10. Áreas.
11. Volúmenes.

1. Operaciones con vectores.
1.1 Producto escalar.
El producto escalar de dos vectores es un número que se obtiene de la siguiente forma:Siendo α el ángulo que se forma entre los dos vectores.
También se utilizan las dos siguientes fórmulas:

Si los dos vectores son perpendiculares, el producto escalar será 0. Una de las utilidades del
producto escalar es el cálculo del ángulo que forman dos vectores.
Propiedades:
-

El producto escalar de un vector por sí mismo es positivo o nulo (u·u

-

El producto escalar esconmutativo (u·v=v·u).
Tiene propiedad homogénea: k(u·v)=ku·v=u·kv.
Tiene propiedad distributiva (u·(v+w) = u·v+u·w)

0)

1.2 Producto vectorial
El producto vectorial de dos vectores

(es otro vector cuya dirección es perpendicular a

los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un tornillo/sacacorchos al girar de a a b.
Su módulo es igual a:

El módulo del producto vectorial dedos vectores es igual al área del paralelogramo que tiene
de lados esos dos vectores.
El producto vectorial también se puede calcular resolviendo la siguiente determinante:

Siendo (x, y, z) un vector y (x’, y’, z’) el otro.

Propiedades: Anticonmutativa (u x v = -(v x u). Al cambiar el orden de los vectores que se
multiplican, el valor absoluto del producto vectorial es el mismo, aunque elsigno cambia.
Homogénea (igual que la del producto escalar), y distributiva (también igual que la del
producto escalar).

1.3 Producto mixto.
El producto mixto de tres vectores
forma: u·(v x w).

es un número real que se calcula de la siguiente

El valor absoluto del producto mixto es igual al volumen del paralelepípedo que tiene de
aristas u, v y w. También se puede calcular medianteuna determinante en la que se van
colocando por filas las componentes de cada vector. Propiedades:

Coordenadas del punto medio de un segmento.
Simplemente hay que hacer la media aritmética de los extremos de ese segmento y nos da las
coordenadas del punto medio. Ejemplo: A (A, B, C) B (A’, B’, C’)
M (punto medio AB)= (A+ A’)/2, (B+B’)/2, (C+C’)/2

2. Ecuaciones de una recta.
2.1 Ecuaciónvectorial

En la ecuación vectorial nos dan el vector director ( ) y el vector que va desde el origen hasta
un punto dado (

).

2.2 Ecuaciones paramétricas:

Nos dan un punto de la recta (x1, y1, z1) y el vector director de la misma (a, b, c). Si igualamos
las tres ecuaciones a t (dejamos la t sola en un miembro), entonces podemos igualar las tres
ecuaciones y obtendríamos la ecuaciónen forma continua de la recta. Podemos obtener
puntos dando valores a t.
2.3 Ecuación en forma continua:

2.4 Como intersección de 2 planos.
Finalmente podemos expresar una recta como la intersección de 2 planos mediante un sistema
que contenga las ecuaciones de ambos planos: Por ejemplo:

Esta recta sería la recta en la que se cortan el plano x + y + z – 2 = 0 y el plano 2x+y–z+5=0....