quimica

Cap´
ıtulo 1
C´lculo en varias variables
a
1.1

L´
ımites de funciones de varias variables

El manejo de l´
ımites para funciones de varias variables es a la vez muy
importante, y dif´
ıcil. Es importante para el material que presentaremos,
pues todo se desarrollar´ alrededor del concepto de diferenciabilidad, y en
a
dicho concepto jugar´ un papel importante el l´
a
ımite de unamagnitud que
depende de varias variables (el residuo).
Es dif´
ıcil, porque hay una gran diferencia entre los l´
ımites de funciones
de una variable (ya de por s´ concepto sutil) y los de varias variables.
ıun
Para verificar la existencia ´ no de l´
o
ımites de funciones de una variable,
s´lo necesitamos analizar dos posibilidades : a qu´ (l´
o
e ımite) tiende la funci´n
o
por laizquierda y por la derecha del punto en cuesti´n. En cambio, para
o
estudiar un l´
ımite de una funci´n de dos variables ´ m´s, en principio est´n
o
o a
a
involucradas infinitas maneras de acercarse al punto en cuesti´n : todas las
o
posibles trayectorias que nos llevan a ´l.
e
Ejemplo 1.1–1. Sea f (x, y) = y/x. Con domino
{(x, y) ∈ R2 | y = 0}.
Estudiemos el l´
ımite (si existe) cuando(x, y) → (0, 0). Una forma de acercarse al origen es a trav´s de una recta de pendiente m que pasa por el
e
origen: y = mx, y hacemos x → 0. Lo que ocurre es que
x
1
1
= lim
= ,
x→0 mx
x→0 m
m

lim f (x, mx) = lim

x→0

1

2

´
CAP´
ITULO 1. CALCULO EN VARIAS VARIABLES

de manera que el valor de l´
ımite depende de m, la pendiente de la recta. Si
nos acercamos al origenpor la par´bola y = x2 , nos queda
a
x
1
= lim ,
x→0 x2
x→0 x

lim f (x, x2 ) = lim

x→0

el cual, como sabemos, no existe. Consideremos por ultimo la trayectoria
´
2
x = y , tenemos que
y2
= lim y = 0.
y→0
y→0 y

lim f (y 2 , y) = lim

y→0

¿Cu´l es la conclusi´n de todo esto? Por supuesto, el l´
a
o
ımite no existe. Cuando
nos acercamos al origen por diferentestrayectorias, obtenemos diferentes
l´
ımites e incluso el l´
ımite puede no existir a lo largo de ciertas trayectorias. El que el l´
ımite exista equivale a que se obtiene un mismo valor al
aproximarse por cualquier trayectoria.
Ejemplo 1.1–2. Sea
f (x, y) =

sin(x) sin(y)
.
xy

Queremos ver si lim(x,y)→(0,0) f (x, y) existe.
Hagamos algunas obervaciones sobre el domiminio D de f .Primeramente
la funci´n no est´ definida en (0, 0) y para analizar el l´
o
a
ımite es necesario
estudiar valores de f (x, y) en puntos (x, y) arbitrariamente cercanos a (0, 0)
sin ser (0, 0). T´cnicamente (0, 0) debe ser punto de acumulaci´n del dominio
e
o
D, vgr. para cualquier δ > 0 debe suceder que B ′ (0, 0; δ) ∩ D = ∅ donde la
bola con centro en (0, 0) y radio δ se define como
Bδ (0, 0) ={(x, y) |

x2 + y 2 < δ}

′
y la notaci´n Bδ (0, 0) significa que se excluye el centro. Tomemos por ejemplo
o
′
D = B1 (0, 0). Es claro entonces que (0, 0) es punto se acumulaci´n de D.
o
La siguiente es una tabla de valores (x, y) tomados al azar y los correspondientes valores de f (x, y)

1.1. L´
IMITES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

3

x
y
x2 + y 2 f (x, y)
0.6245450.929048
1.11946 0.807257
0.538409
0.61957
0.820823 0.892609
0.0235492 0.772784 0.773143 0.903314
0.387152 0.800026 0.888779 0.874456
0.0740555 0.369479 0.376827 0.976509
0.381591 0.544371 0.664794 0.928417
0.167903 0.287027 0.332529 0.981698
0.180206 0.815687 0.835356 0.887916
1.16951 0.791529
0.712596 0.927343
0.459414 0.866261 0.980545 0.848927
0.695937 0.998536
1.21713 0.7755780.380652
0.53238
0.654465 0.930569
0.0713921 0.0694885 0.0996267 0.998347
0.91281
1.24201 0.767895
0.842243
0.047843 0.296704 0.300537 0.985016
Si seleccionamos los valores de f (x, y) con (x, y) lo m´s cercano a (0, 0), es
a
decir con norma m´s peque˜a, tenemos
a
n
y
x2 + y 2 f (x, y)
x
0.0740555 0.369479 0.376827 0.976509
0.167903 0.287027 0.332529 0.981698
0.0713921 0.0694885...