quimica

2o Parcial: Óptica y Optometría
Matemáticas

Enrique Artal
José Ignacio Cogolludo

TEMA 5

Funciones de una variable. Continuidad y derivabilidad
5.1.

Continuidad de funciones

En el lenguaje cotidiano una línea continua es una línea sin interrupciones, una línea de un
solo trazo. ¿Una función continua es la que tiene una gráfica continua en el sentido anterior? Esta
definiciónes intuitiva pero no sirve en matemáticas. Para definirla rigurosamente utilizamos la
noción de límite.
Definición 5.1.1. Una función f : D Ñ R es continua en un punto a P D si:
a) Existe l´ımxÑa f pxq P R,
b) l´ımxÑa f pxq “ f paq.
La función se dice continua si lo es @x P D.
Por las propiedades de límite, es fácil ver que la continuidad se conserva por las operaciones
elementales.Proposición 5.1.2. Sean f : D Ñ R, g : E Ñ R, a P D X E y supongamos que f y g son
continuas en a. Se tiene:
a) f ` g es continua en a.
b) f g es continua en a.
c) fg es continua en a si a está en el dominio de

f
g,

o sea, si gpaq ‰ 0.

De hecho también la composición de funciones continuas es continua.
Proposición 5.1.3. Sean f : D Ñ R, g : E Ñ R, a P D, y supongamos que f pDq Ď E. Si fes
continua en a y g es continua en f paq, entonces la composición g ˝ f es continua en a.
Ejemplo 5.1.4. Como ya hemos señalado en la Observación 4.4.21 las funciones básicas de §4.3
son continuas.
Ejemplo 5.1.5. La función valor absoluto f : x P R Ñ f pxq “ |x| P R es continua. En efecto:
dado a P R, f es continua en a porque para cada ε ą 0 se puede tomar δ “ ε de manera que si
|x ´ a| ăδ, se tiene:
|f pxq ´ f paq| “ ||x| ´ |a|| ď |x ´ a| ă δ “ ε.
Definición 5.1.6. Sea f : D Ñ R, c P D, f no continua (discontinua) en c.
a) Diremos que f tiene en c una discontinuidad evitable si existe l´ımxÑc f pxq P R (y es
finito) pero el límite no coincide con f pcq (como en la Figura 5.1(a)).
b) Diremos que f tiene en c una discontinuidad de salto si existen los límites l´ımxÑc´ f pxq
yl´ımxÑc` f pxq, pero son distintos (como en la Figura 5.1(b)).
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5. CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD

c) Diremos que f tiene en c una discontinuidad esencial si no existe alguno de los límites
laterales (como en la Figura 5.1(c)).

0

y

y

y

x

0

x

x

0

q
$
&|x|
(a) f pxq “
%1

$
&´1
(b) f pxq “
%1

si x ‰ 0
si x “ 0

si x ă 0
si x ě 0

$
&x(c) f pxq “
%1

x

si x ď 0
si x ą 0

Figura 5.1

5.2.

Continuidad en intervalos

Cuando el dominio de una función es un intervalo se tienen propiedades especiales.
Teorema 5.2.1 (Weierstrass). Sea f una función continua en un intervalo cerrado y acotado
ra, bs, a, b P R, a ă b. Entonces:
a) f está acotada;
b) f alcanza un valor mínimo y un valor máximo, es decir, existen puntosr, s P ra, bs (no
necesariamente únicos) tales que para todo x P ra, bs es f prq ď f pxq ď f psq.
Teorema 5.2.2 (Bolzano). Sea I un intervalo, f : I Ñ R continua, y sean a, b P I (a ă b) tales
que f paqf pbq ă 0 (o sea, que f paq y f pbq tengan signos distintos). Entonces existe c P pa, bq con
f pcq “ 0.
Observación 5.2.3.
1. Es sencillo observar que el número real c P I del teorema anteriorno es necesariamente
único (como se puede ver en la Figura 5.2).
2. A aquellos valores c P I tales que f pcq “ 0 se les denomina ceros de f .
3. Este teorema tiene además una importante consecuencia práctica: entre dos ceros consecutivos de una aplicación continua en un intervalo, el signo debe permanecer constante.
4. Como consecuencia inmediata del Teorema de Bolzano, todo polinomio de gradoimpar
tiene al menos una raíz. Para demostrar esto podemos considerar un polinomio de grado
impar del tipo ppxq “ x2n`1 ` .... Para valores muy grandes negativos de x el valor
de ppxq será negativo (de hecho l´ımxÑ´8 ppxq “ ´8) mientras que para valores muy
grandes positivos de x el valor de ppxq será positivo (de hecho l´ımxÑ`8 ppxq “ `8).
Por lo tanto, según el teorema de Bolzano,...