Quinto postulado

Quinto postulado de Euclides
En geometría, el postulado de las paralelas o quinto postulado de Euclides, debido a que es el quinto postulado de los Elementos de Euclides, es un axioma distintivo de la geometría euclidiana. El postulado afirma:
Postúlese... Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadasindefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los [ángulos] menores que dos rectos.
Euclides, en su tratado "Los Elementos", construye toda la Geometría hasta entonces conocida –la que luego se llamó Geometría euclidiana– basándose en tan sólo 13 definiciones, ocho nociones comunes y cinco postulados.
Los cinco postulados de Euclides son los siguientes:
1. Postúlese el trazar unalínea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera.
2. Y el prolongar continuamente una recta finita en línea recta.
3. Y el describir un círculo con cualquier centro y distancia.
4. Y el ser todos los ángulos rectos iguales entre sí.
5. Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadasindefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los menores que dos rectos.

La independencia del V postulado y las geometrías no euclídeas
Unos 22 siglos después de que se escribieran los Elementos por fin se llega a una conclusión: el V postulado es independiente de los otros cuatro. Y se llega a esta respuesta mediante un camino sorprendente. La prueba de la independencia del V postuladolleva implícita la posibilidad de que existan geometrías en los que no se cumple este postulado. Dicho de otro modo: desde el punto de vista lógico no hay contradicción ninguna en suponer que por un punto exterior a una recta puedan pasar más de una paralela a la recta, o incluso ninguna.
Parece difícil comprender esta afirmación, puesto que en la experiencia común sabemos que (excepto errores dedibujo), el V postulado es cierto. Para comprenderlo debemos hacer un esfuerzo de abstracción por intentar olvidar nuestro significado intuitivo de qué es una recta y acudir únicamente a las definiciones de Euclides.
Según Euclides una línea es una longitud sin anchura (Elementos, Libro I, Definiciones, 2), Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella(Elementos, Libro I, Definiciones, 4), Una superficie es lo que sólo tiene longitud y anchura (Elementos, Libro I, Definiciones, 5), Unas superficie plana es aquella que yace por igual respecto de las líneas que están en ellas (Elementos, Libro I, Definiciones, 7), Son rectas paralelas las que estando en el mismo plano y siendo prolongadas indefinidamente en ambos sentidos, no se encuentran una a otraen ninguno de ellos (Elementos, Libro I, Definiciones, 23) y Postúlese el trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera (Elementos, Libro I, Postulados, 1). De todas formas, dado que es más sencillo para nuestro propósito, consideraremos la definición dada por Arquímedes en "Sobre la esfera y el cilindro": la recta es la más corta de todas las líneas que tienen losmismos extremos.
Ahora bien, excepto porque tenemos una noción de recta y de plano que nos permiten comprobar que esas nociones encajan en las definiciones dadas, éstas son demasiado difusas desde el punto de vista lógico como para considerar que no puedan ser válidas otras interpretaciones. Por ejemplo, si consideramos una superficie esférica y le damos la denominación de plano, encajaperfectamente en las definiciones de plano. En este caso, una recta debería de ser (en virtud de lo dicho, en especial de la propiedad de ser la línea más corta) el trozo de circunferencia máxima (es decir, una circunferencia que pasa por dos puntos diametralmente opuestos de la superficie esférica) que pasa por dos puntos dados. En tal situación, por un punto exterior a una recta no pasaría ninguna recta...