Quiz 3

FERNANDO MADERA.
1) Veamos entonces cuál de los dos estimadores es mejor en términos de varianza.
Si U,U1 y U2 son variables aleatorias uniformes entre 0 y 1, tenemos los estimadores
2

2

𝑇1 =

𝑒 𝑈(1+𝑒 1−2𝑈)
2

y 𝑇2 =

2

(𝑒 𝑈1 +𝑒 𝑈2 )
2

En R:
El verdadero valor del parámetro se calcula como
> f = function(x){exp(x^2)}
> tetha = integrate(f,0,1)
> tetha
1.462652 with absolute error < 1.6e-14Con el estimador T1
> U=runif(500)
> T1 = mean(exp(U^2)*(1+exp(1-2*U))/2)
> T1
[1] 1.458668

Con el estimador T2
U1 = runif(500) ; U2 = runif(500)
> T2 = mean((exp(U1^2)+exp(U2^2))/2)
> T2
[1]1.472291

Con el anterior resultado se muestran los estimadores del parámetro dados por cada
estimador T1 y T2 respectivamente.
Para calcular las varianzas de los estimadores hacemos en R el siguienteprocedimiento
>
>
+
+
+
+
+
+
+
>
>
>

theta=NULL
for(i in 1:500){
U=runif(500)
T1 = mean(exp(U^2)*(1+exp(1-2*U))/2)
U = runif(12)
U1 = runif(500) ; U2 = runif(500)
T2 = mean((exp(U1^2)+exp(U2^2))/2)
theta= rbind(theta,c(T1,T2))
}
colnames(theta)<-c("T1","T2")
var=apply(theta,2,var)
var
T1
T2
5.021083e-05 2.349203e-04
> min(var)
[1] 5.021083e-05

Con estos últimos resultados se demuestra que elestimador T1 tiene menor varianza que
el estimador T2, y por tanto el estimador T1 es el mejor entre los dos estimadores.

2) Simulation-Elsevier Academic Press (2006) pag 209.
Colorario: Si ℎ(𝑥1 , 𝑥2 , … ,𝑥𝑛 ) es una función monótona en cada uno de sus argumentos,
entonces, para un conjunto 𝑈1 , 𝑈2 , … , 𝑈𝑛 de números aleatorios independientes, se tiene
que
𝐶𝑜𝑣[ℎ(𝑈1 , 𝑈2 , … , 𝑈𝑛 ), ℎ(1 − 𝑈1 , 1 − 𝑈2, … , 1 − 𝑈𝑛 )] ≤ 0
Para solucionar entonces el ejercicio nos podemos basar en el anterior Colorario, ya que
una de las condiciones de las variables antitéticas es que estén correlacionadas de formanegativa. Si tenemos la cantidad
1

1

2

𝜃 = ∫ ∫ 𝑒 (𝑥+𝑦) 𝑑𝑦𝑑𝑥
0

0

Se puede usar variables antitéticas para hallar un estimador de 𝜃 de la siguiente manera:
2

Sea ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑒 (𝑥+𝑦) . Se tienen dos...