Qwwq

ESTAD´
ISTICA (GRUP 10)
Prova escrita E1: 3 de maig de 2010
1. Si A i B s´n dos esdeveniments tals que P (A) = 0.75 i P (B/A) = 0.8, calculeu:
o
(a) P (A ∩ B ). Qu` ha de valer P (B ) per tal que els dos esdeveniments siguin indepene
dents? Raoneu la resposta.
(b) P (A ∪ B ) i P (A ∩ B ) si sabem que P (B ) = 0.25
2. En una Universitat els homes representen el 60 % dels estudiants deprimer curs, el 40
% dels de segon, el 40 % dels de tercer i el 45 % dels de quart. Sabent que en aquesta
Universitat hi ha un 30 % d’estudiants de primer curs, un 25 % de segon curs, un 25 %
de tercer curs i un 20 % de quart curs, si escollim un estudiant a l’atzar, es demana:
(a) Calculeu la probabilitat que sigui home
(b) Si l’estudiant escollit a l’atzar ´s home, quina probabilitat hi ha quesigui de segon
e
curs?
3. Sigui X la variable aleat`ria discreta que assigna el m`xim del resultat de llen¸ar dos
o
a
c
daus tetra`drics (amb 4 cares). Es demana:
e
(a) Doneu expl´
ıcitament l’espai mostral Ω i la variable aleat`ria X .
o
(b) Definiu i representeu gr`ficament la funci´ de densitat fX (x)
a
o
(c) Definiu i representeu gr`ficament la funci´ de distribuci´ FX (x)
a
o
o(d) Calculeu E (X ) i V ar(X )
4. Un proc´s productiu de rodes d’autom`bil t´ una defectuositat d’un 2 %. Calculeu la
e
o
e
probabilitat que:
(a) Almenys una roda sigui defectuosa si n’inspeccionem 10 a l’atzar.
(b) Exactament 19 rodes no siguin defectuoses si n’inspeccionem 20 a l’atzar.
(c) Que hi hagi m´s de 15 rodes defectuoses si n’inspeccionem 300 a l’atzar. Feu servir
el’aproximaci´ a la distribuci´ normal.
o
o
o
o
5. Una variable aleat`ria segueix una distribuci´ normal amb µ = 62.4. Si la probabilitat
que prengui un valor m´s gran que 79.2 ´s d’un 3.9 %, quina ´s la seva desviaci´ t´
e
e
e
o ıpica?

Puntuaci´:
o
1. 1 punt

2. 2 punts

3. 3.5 punts

4. 2.5 punts

5. 1 punt

´
RESOLUCIO
1. A i B s´n dos esdeveniments amb P (A) = 0.75 i P (A|B ) =0.8
o
(a) Sabem que P (B |A) =

P (A ∩ B )
per tant, P (A ∩ B ) = P (B |A)P (A) = 0.8 × 0.75 =
P (A)

= 0.6
Si els dos esdeveniments s´n independents
o
P (B |A) = P (B ) = 0.8
(b) Ara sabem que P (B ) = 0.25, per tant, P (B ) = 1 − P (B ) = 0.75
Sabem que P (A ∪ B ) = P (A)+ P (B ) − P (A ∩ B ) = 0.75+0.75 − 0.6 = 1.5 − 0.6 = 0.9
Sabem que P (A ∩ B ) = P (A) − P (A ∩ B ) = 0.75 −0.6 = 0.15
2. Si representem la situaci´ en forma d’arbre:
o

(a) Calculem la probabilitat que sigui home, P (H )
P (H ) = P (H ∩ 1r) + P (H ∩ 2n) + P (H ∩ 3r) + P (H ∩ 4t) =
= P (H |1r)P (1r) + P (H |2n)P (2n) + P (H |3r)P (3r) + P (H |4t)P (4t) =
= 0.6 × 0.3 + 0.4 × 0.25 + 0.4 × 0.25 + 0.45 × 0.2 = 0.18 + 0.10 + 0.10 + 0.09 = 0.47
e
(b) Calculem la probabilitat que sigui de 2n, sabent que´s home, P (2n|H ) :
P (2n ∩ H )
0.4 × 0.25
P (2n|H ) =
=
= 0.2128
P (H )
0.47
3. X ´s la varible aleat`ria que assigna a cada resultat possible de l’experiment, el m´s gran
e
o
e
dels dos nombres obtinguts al llen¸ar dos daus tetra`drics.
c
e
(a) L’espai mostral dels possibles resultats ser`:
a
Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2),(3, 3), (3, 4),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}
Si donem expl´
ıcitament la variable aleat`ria:
o

X:Ω
(1, 1)
(1, 2)
(1, 3)
(1, 4)
(2, 1)
(2, 2)
(2, 3)
(2, 4)
(3, 1)
(3, 2)
(3, 3)
(3, 4)
(4, 1)
(4, 2)
(4, 3)
(4, 4)

−→
−→
−→
−→
−→
−→
−→
−→
−→
−→
−→
−→
−→
−→
−→
−→
−→

1
1
2
3
4
2
2
3
4
3
3
3
4
4
4
4
4

El conjunt imatge ´s:
e
X (Ω) ={1, 2, 3, 4}

(b) Calculem la funci´ de densitat discreta:
o
x

P (X = x)

1

1
16

= 0.0625

2

3
16

= 0.1875

3

5
16

= 0.3125

4

7
16

= 0.4375

(c) Calculem la funci´ de distribuci´:
o
o

fX (x) =

0
si x ∈ X (Ω)
/
P (X = x) si x ∈ X (Ω)

x

P (X ≤ x)

1

1
16

= 0.0625

2

4
16

= 0.25

3

9
16

= 0.5625

4

16...