R103329

SUBTEMA 1.5.2. RESULTANTE DE FUERZAS
CONCURRENTES EN EL ESPACIO.

Una fuerza F en el espacio
tridimensional
se
puede
descomponer en componentes
rectangulares Fx , Fy
y
Fz.
Denotado por:

Fx  F cosθ x

Fy F cosθ y

Fz F cosθ z

Los ángulos que F forma, respectivamente, con los
ejes x, y, y z se tiene:

θ x ,θ y y θ z

Una fuerza de F se puede descomponer en una
componente vertical Fy y unacomponente horizontal
Fh ; esta operación se lleva acabo en el plano OBAC
siguiendo
las reglas desarrolladas en la primera parte de este
capitulo.
*Las componentes escalares correspondientes son:
Fy= F cos θy
Fh= F sen θy
*Fh se puede descomponer en dos componentes rectangulares Fx y Fz a lo largo de las ejes
x y z , respectivamente.

De esta forma, se obtiene las siguientes
expresiones para lascomponentes
escalares de Fx y Fz:
Fx= Fh cos Ф = F sen θ y cos Φ
Fz= Fh sen Φ = F sen θ y sen Φ
La fuerza dada F se descompone en tres
componentes vectoriales rectangulares :
Fx, Fy y Fz.

Aplicando el teorema el teorema de
Pitágoras a los triángulos OBA y OCD:
F²= (OA)² =(OB)²+(BA)²=F²y + F²h
F²= (OC)² =(OD)²+(DC)²=F²x + F²z
Eliminando Fh de estas dos escalares y
resolviendo para F, seobtiene la siguiente
relación entre la magnitud de F y sus
componentes escalares rectangulares :

_______________
F=√ Fx² + Fy² + Fz²

Problemas de componentes
rectangulares de una fuerza en el

espacio.
1.- Una fuerza de 500 N forma ángulos de

60°, 45°, y 120° con los ejes x, y, y z
respectivamente.
Encuentre
las
componentes Fx, Fy, y Fz de la fuerza.
A) Fx = F cos θx = Fx = 500 N x cos60°
Fx = 500 N x 0.5 = 250 N.
Fy = F cos θy = Fy = 500 N x cos 45°
Fy = 500 N x 0.7071 = 354 N.
Fz = F cos θz = Fz = 500 N x cos 120°
Fz = 500 N x -0.5 = -250 N.

Este último resultado es importante.
Siempre que una componente tenga un
ángulo obtuso, la componente tendrá
un signo negativo y viceversa.

2.- Una fuerza tiene las componentes Fx= 20 lb,
Fy = -30 lb, Fz = 60 lb. Determine lamagnitud
de la fuerza resultante F, y los ángulos Θx, Θy y
Θz.
 _______________
F=√ Fx² + Fy² + Fz²
________________________
F =√(20 lb)2 + (-30 lb)2 + (60 lb)2
_____________________________

F =√400 lb + 900 lb + 3600 lb
________
F = √4900 lb
F = 70 lb.

b) cos θx = Fx/F
θx = 20 lb/70 lb = 0.2857.
θx = cos-1 0.2857 = 73.4°.
cos θy = Fy/F
θy = - 30 lb/70 lb = -0.4285
θy = cos -1 -0.4285 =115.4°.
cos θz = Fz/F
θz = 60 lb/70 lb = 0.8571.
θz = cos-1 0.8571 = 31°.

3.- Una fuerza en el espacio, tiene un valor
de 2500 N, y sus componentes Fx = -1060
N, Fy= +2120 N, Fz = +795 N. Calcular los
ángulos de dicha fuerza, con respecto a los
ejes x, y, y z (Θx, Θy, Θz).
Cos Θx = Fx/F =- 1060 N/2500 N = - 0.424
Θx = cos-1 - 0.424 = 115.1°.
Cos Θy = Fy/F = 2120 N/2500 N = 0.848.
Θy = cos-10.848 = 32°.
Cos Θz = Fz/F = 795 N/2500 N = 0.318
Θz = cos-1 0.318 = 71.5°.

 4.- Determine la magnitud y dirección de la fuerza F, (cosenos
directores) (Θx, Θy, Θz) dada por la ecuación:
 F= (320 N)i+(400 N)j-(250 N) k.

____________________________________ ____________
 F = √Fx² + Fy² + Fz²

___________________________
 F = √(320 N)2 + (400 N)2 + (- 250 N)2

____________________________ F= √102400 N + 160000 N + 62500 N

________
 F = √324900
 F = 570 N.

b) cos θx = Fx/F
θx = 320 N/570 N = 0.5614.
θx = cos-1 0.5614 = 55.8° .
cos θy = Fy/F
θy = 400 N/570 N = 0.7017
θy = cos-1 0.7017 = 45.4 °.
cos θz = Fz/F
θz = -250 N/570 N =- 0.4385
θz = cos-1 -0.4340 = 116 °.

5.- El tirante de una torre, está anclado
por medio de un perno en A. La tensión
en dicho cable es de2500 Newtons.
Determine las componentes Fx, Fy y Fz
de la fuerza que actúa sobre el perno,
conociendo que dx = -40 m, dy = +80 m,
dz = +30 m.


____________
d = √dx² + dy² + dz²

_______________________
d = √(-40m)2 + (80 m)2 + (30 m)2
____________________________________

d = √ 1600 m2 + 6400 m2 + 900 m2.

________
d = √8900 m2.
d = 94.33 m


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Fx = dx...