Racionalizacion

Expresiones algebraicas

Racionalizaci´n o
√ 4

Ejercicios resueltos

1. Racionalizar el denominador y simplificar la expresi´n √ 2 2 o 3
xy

Soluci´n: o √ 4
3

2 12 (xy 2 ) 12 = = = 2 12 xy 2 (xy 2 ) 3 (xy 2 ) 3 xy 2

2 4 (xy 2 ) 3

1

2

3

8

12

23 x8 y 16 = xy 2

12

8x8 y 16 xy 2

2. Racionalizar el denominador de Soluci´n: o

5 √ . 2+ 2

√ 5 5 2− 2 √ =√ · √ 2+ 2 2+ 2 2− 2 √ 5(2 − 2) √ = 4 − ( 2)2 √ 5(2 − 2) = 4 −√ 2 10 − 5 2 = 2

2

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Ejercicios resueltos

3

3. En algunas ocasiones es convenienteracionalizar el numerador de una fracci´n. o Racionalizar el numerador de √ √ x+h− x h Soluci´n: o √ x+h− h √ x √ = x+h− h √ x √ √ x+h+ x ·√ √ x+h+ x

√ √ ( x + h)2 − ( x)2 √ = √ h( x + h + x) = (x+ h) − x √ √ h( x + h + x h √ √ h( x + h + x 1 √ x+h+ x

=

= √

4. Racionalizar al numerador de la expresi´n o Soluci´n: Amplificando por x2 + o x2 − √ x x+1 x2 − √ √

x2 −

√ x

x+1

.x + 1 se tiene:

=

√ x4 − (x + 1) x + 1 x2 + x + 1 √ = · 2 √ x x + x + 1 x(x2 + x + 1)

Inst. de Matem´tica y F´ a ısica

Universidad de Talca

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Ejercicios resueltos

4

5. Racionalizar el denominador de √ 3 Soluci´n: o

1 √ x− 3y √ 3 √ 3

Observar que en este caso, no sirve amplificar por Usando la factorizaci´n o

x+

ya3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ), con a = √ 3 xyb= √ 3 y se tiene √ √ √ 2 √ 3 3 x − y = ( x − 3 y)( x + 3 xy +
3

y2)

de donde se deduce que el factor adecuado para racionalizar la fracci´npropuesta o √ √ 3 3 es: x2 + 3 xy + y 2 . Luego: + xy + 1 1 √ √ =√ √ ·√ 2 √ 3 3 3 x− 3y x− 3y x + 3 xy + √ 3 x2 √ 3
3 3

y2 y2

√ 3 =

x2 +

xy + x−y

√ 3

3

y2

6. Racionalizar eldenominador de √ 3 Soluci´n: o

4 . 1 − x3 + x

En este caso usamos la factorizaci´n de la suma de dos cubos: o a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ). Haciendo a = √ 3 1 − x3 y b = x:

Inst. de...