Radiacion

Ap´ndice A e

Breviario de c´lculo vectorial a
versi´n 16 de octubre de 2006 o Este ap´ndice no pretende ser mas que un resumen de definiciones y f´rmulas e o ´ utiles acerca de la funci´n delta de Dirac, c´lculo vectorial y transformacioo a nes de coordenadas. Est´ basado en secciones de los libros de Jackson y de a “C´lculo vectorial” de Marsden & Tomba. a

A.1.

La funci´n delta de Diraco

La funci´n δ de Dirac permite introducir conceptos como cargas puntuao les de una manera matem´ticamente formal. La funci´n δ se puede definir a o de varias maneras, en particular asign´ndole las propiedades a δ(x) = 0 para x = 0 , +∞ para x = 0
+∞

f (x)δ(x)dx = f (0) ,
−∞

(A.1)

+∞ o en particular −∞ δ(x)dx = 1. Una manera alterna de definir la funci´n δ 2 )−1/2 exp{−x2 /2σ 2 },para es como el l´ ımite de una gaussiana, g(x) = (2πσ σ → 0. Esta es una gaussiana infinitamente angosta con valor divergente en x = 0 para asegurar su normalizaci´n. La funci´n delta puede generalizarse o o mediante translaciones

δ(x−a) =

0 para x = a , +∞ para x = a

+∞

f (x)δ(x−a)dx = f (a) , (A.2)
−∞

e introduciendo mas variables: δ(r − r0 ) = δ(x − x0 )δ(y − y0 )δ(z − z0 ) , 1(A.3)

de manera que δ(r − r0 )dxdydz = 1, al integrar sobre todo el espacio. A manera de ejemplo, la funci´n delta permite especificar la densidad de o carga debida a un conjunto de N cargas puntuales de valores qı situadas en posiciones rı como:
N

ρ(r) =
ı=1

qı δ(r − rı ) .

(A.4)

Las propiedades de la funci´n delta permiten obtener el potencial ϕ(r) evao luando la funci´n dentro dela integral en los puntos rı , es decir o ϕ(r) = ρ(r ) 3 d r = |r − r |
N

qı
ı=1

δ(r − rı ) 3 d r = |r − r |

N ı=1

qı . |r − rı |

(A.5)

N´tese que δ(x) tiene unidades de inverso de x, y δ(r) unidades de densidad o num´rica. e La funci´n δ adquiere forma particular en coordenadas cil´ o ındricas y esf´ricas, dadas por la condici´n de normalizaci´n: e o o δ(r − r0 ) RdR dφ dz = 11 δ(r) = δ(R − R0 )δ(φ − φ0 )δ(z − z0 ) ⇒ R δ(r − r0 ) r2 dr sin θdθ dφ = 1 1 ⇒ δ(r) = 2 δ(r − r0 )δ(cos θ − cos θ0 )δ(φ − φ0 ) r

(A.6)

(A.7)

A.2.
A.2.1.

Productos entre vectores
Producto interno

Para dos vectores a y b en el espacio Euclidiano de tres dimensiones, el producto interno (o producto punto) entre ellos est´ definido como a a · b = ax bx + ay by + az bz .

Enparticular se define la norma (“longitud”) de un vector, |a| con la relaci´n o 2 = |a|2 = a · a. Por definici´n se cumplen las siguientes propiedades: a o (i) a · a ≥ 0, (ii) αa · b = (αa) · b = a · (αb), siendo α un escalar, (iii) a · (b + c) = a · b + a · c, 2

(iv) a · b = b · a, (v) la desigualdad de Cauchy-Schwarz: |a · b| ≤ |a||b|. El cociente se relaciona con el angulo θ entre ambos vectores: cosθ = |a · b|/|a||b|. ´

A.2.2.

Producto vectorial

El producto vectorial (o producto cruz) entre a y b est´ definido como a a×b= x y z ˆ ˆ ˆ ax ay az bx by bz .

Por definici´n el producto vectorial cumple con las siguientes propiedades: o (i) a × b = −b × a, (ii) αa × b = (αa) × b = a × (αb), siendo α un escalar, (iii) a × (b + c) = a × b + a × c, (iv) a × b = |a| b sin θ, siendo θ elangulo entre ambos vectores. ´

Algunas propiedades de los productos vectoriales
a · b × c = b · (c × a) = c · a × b , a × b × c = (a · c) b − a · b c , a × b · c × d = (a · c) b · d − a · d b·c .

A.3.

Diferenciaci´n sobre curvas y superficies o

Una funci´n entre las tres coordenadas (x, y, z) de un punto del tipo o f (x, y, z) = c, siendo c una constante, describe a una superficie en elespacio de tres dimensiones. La intersecci´n de dos superficies describe a una curva o en tres dimensiones. Un ejemplo de superficie es la esfera de radio r dada por la ecuaci´n x2 + y 2 + z 2 = r2 . La intersecci´n de la esfera con el plano o o z = 0 nos da un c´ ırculo (“curva”) en el plano xy. Curvas en el espacio pueden definirse tambi´n de manera param´trica, e e como trayectorias definidas con...