Radicales

RADICALES
1.1 Radicales 1.2 Transformaciones de radicales
1.2.1 Teorema fundamental de la radicación 1.2.2 Simplificación de radicales 1.2.3 Reducción de radicales a índice común 1.2.4 Potenciación de exponente fraccionario

1.3

Operaciones con radicales
1.3.1 Producto de radicales.
1.3.1.1 1.3.1.2 Extracción de factores fuera del signo radical Introducción de radicales dentro del signoradical

1.3.2 Cociente de radicales 1.3.3 Potencia de un radical 1.3.4 Raíz de un radical

1.4

Racionalización de denominadores
1.4.1 Denominadores con monomios 1.4.1.1 1.4.1.2 Con una única raíz cuadrada Con una única raíz n-ésima

1.4.2 Racionalización de binomios. Pares conjugados

1.5 Adición y sustracción de radicales. Radicales semejantes

1.1

Radicales

La radicación esla operación inversa de la potenciación. Si una potencia es: an = b La radicación es la operación que tiene que obtener a conociendo b y n. Se expresa: f : an = b  → f −1 : a = n b Se llama raíz n-ésima de un número real b a otro número real a cuya potencia n-ésima es igual a b
 n b : es el radical  b : es el radicando   n : es el índice  a : es la raíz 

n

b=a

Un radical puedellevar coeficientes que formen parte de el como por ejemplo 3n b donde 3 es el coeficiente y forma parte del radical. Si n = 2, es la raíz cuadrada y se acostumbra a omitir el índice Si n = 3, es la raíz cúbica Si n = 4, es la raíz cuarta y así sucesivamente Como consecuencia de las reglas sobre los signos de las potencias de exponente natural y base negativa tenemos que • Toda raíz de índiceimpar de un número tiene el mismo signo que el radicando 3 8 = 2 ya que 2 3 = 8
− 8 = −2 ya que ( −2) 3 = −8 Toda raíz de índice par de un número positivo tiene doble signo 16 = ±4 ya que 4 2 = ( −4) 2 = 16 Toda raíz de índice par y radicando negativo no es real 4 − 64
3

• •

Ejercicios:
Calcula el valor de los siguientes radicales identificando en cada uno de ellos índice, radicando y raíz:1. 2. 3. 4. 5.
3 3

9 −8 64 125 256

9. 10. 11. 12. 13.

4

625 256 729 125 3 − 512 5 7776 3 0.064

6. 7. 8.

4

256 − 32

14. 15. 16.

5

−

5

3

1024 243 8 125
0.0004

4

81 256

1.2

Transformaciones de radicales

1.2.1 Teorema fundamental de la radicación
Si se multiplica o divide el índice de la raíz y el exponente del radicando por un mismo númeroentero, el valor aritmético del radical no varía. Demostración Sea el radical n A p = b Por definición de raíz: A p = b n

Elevamos los dos términos de la igualdad a una potencia q: A p o sea: A pq = b nq . Extraemos la raíz de índice n ⋅ q : A p⋅q = b nq = b Luego queda demostrado (por definición de raíz)
nq nq
n

( ) = (b )
q

n q

Ap =

nq

A pq

(1) Este teorema permite lasimplificación de radicales, definir la potenciación de exponente fraccionario y la reducción a índice común. Ejemplos: a)

3a = 4 (3a )2 = 4 9a 2 ;

b) 3 2 a 2 ( x 2 + y ) = 6 2 2 a 4 ( x 2 + y ) 2 ; d) 4 36 = 4 6 2 = 6

c) 5 x 2 + y 2 = 10 ( x 2 + y 2 ) 2 e) 10 32 = 10 2 5 = 2

Ejercicios:
Escribe tres radicales iguales a cada uno de los siguientes radicales: 17)

3xy

18) 3 2 x 2 z

19)4 5 xy 2 z

20) 3 2ab 2

21) 4 3xy 3 z 2

22) 5

xy 2 z3

1.2.2 Simplificación de radicales
Para simplificar un radical se divide el índice del radical y el exponente del radicando por sus factores comunes (por el m.c.d).

Ejemplos: a) b) c)
6 18

324 = 6 2 2 ⋅ 3 4 = 6 (2 ⋅ 32 ) 2 = 3 2 ⋅ 3 2 = 3 18 27 a 9 = 18 33 ( a 3 ) 3 = 18 (3a 3 ) 3 = 6 3a 3

9b 2 = x2y4

32 b2 = x2 (y2 ) 2

 3b  (3b ) 2 3b =  2 = 2 2 2  xy  ( xy ) xy  

2

Ejercicios:
23) 26)

25a 4 b 6 c10
25m 2 n 6 81a10 x 4
3

24) 3 27 a 3b 9c 12 27) 16a 4 49b 8 c 2

25) 28) 31)
4

x2 y 20 81a 2b 2c 8 144 x 2 y 6

125x 12 29) − 64( a − b) 9 32) 6 8x 3 y 3 16a 8 35) 81b 4
12

30) 5 − 243( a + b) 10 33) 9 64 x 3 y 6 27 m3 n 6 36) 125a 6b 9
15

25x 2

34) 10 32a 5

37) 5...