Radicales

Radicales

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

MATEMÁTICAS BÁSICAS
RADICALES

OPERACIONES CON RADICALES
Un radical es cualquier raíz indicada de una expresión. La radicación es la operación inversa de la
potenciación y se representa por el símbolo

n

, donde

n es el índice del radical y dentro se ubica una

expresióndenominada subradical.
Para resolver una raíz, se busca una cantidad que elevada a un exponente igual al índice del radical sea
igual al subradical.
El radical puede ser racional si la raíz indicada es exacta o irracional si no lo es.
Ejemplos.
1) El subradical de la expresión

5 x + 3 es 5 x + 3

16x

2

3)

3

17x

4

5)

4

6c − 4d es un radical de cuarto grado

2)

4 x ,es exacto.

es un radical racional porque su resultado,

es un radical irracional porque su resultado no es exacto.

En los radicales de segundo grado se omite su índice, esto es:
Si a = b ,
n

a =2 a.

a es una raíz enésima de b .

Ejemplos
1) Si 3 = 9 entonces
2

3 es una raíz cuadrada de 9
2) Si 5 = 625 entonces 5 es una raíz cuarta de 625
4

Si

n es par, a n ≥ 0 , porlo que un número negativo no puede tener raíz enésima .

Ejemplos
1) Si
2) Si
Si

6

− 16 no tiene raíz cuadrada en R.
− 64 no tiene raíz sexta en R.

n es par y b = a n , también b = (− a )n , así que b tiene dos raíces enésimas, a y − a .

Ejemplos
1) Como 5 = 25 y (− 5 ) = 25 ,
2

2

2) Como 3 = 81 y (− 3) = 81 ,
4

4

5 y − 5 son raíces cuadradas de 25 .
3 y − 3 sonraíces cuartas de 25 .

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Si

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n es impar, todo número real tiene exactamente una raíz enésima.

Ejemplos
1)

3

2)

5

Si

216 = 6 .
− 32 = −2

b ≥ 0 , hay una única raíz enésima no negativa de b representada por

Ejemplo.
Si 49 = 7 , entonces
2

49 . Pero

n

b7 es una raíz cuadrada de 49 y como 49 = (− 7 )2 , − 7 es otra raíz cuadrada de

49 denota exclusivamente a la raíz no negativa de 49 .

Si x ≥ 0 , m , n ∈ N, a ley de exponentes fraccionarios establece que:
m
n

x = n xm
Esto es, cualquier expresión elevada a un exponente fraccionario es igual a una raíz cuyo índice es el
denominador y el subradical es la misma expresión elevada ala potencia que tiene el numerador.
En el caso particular, si

m = n , se tiene que: x = n x n

Los radicales cumplen con las siguientes propiedades:
1) El producto de dos radicales de un mismo índice es igual a la raíz del producto de los subradicales.
Esto es: n a ⋅ n b = n a ⋅ b si a > 0 , b > 0 , n ∈ N.
2) El cociente de dos radicales de un mismo índice es igual a la raíz del cocientede los subradicales.
n

a n a
=
si a > 0 , b > 0 , n ∈ N.
n
b
b
3) Un radical de índice n elevado a una potencia m equivale a una raíz de índice n y de subradical
Esto es:

( )

m

elevado a la potencia m . Esto es: n a =
4) La raíz de índice m de un radical de índice
índice

n

a m si a > 0 , m , n ∈ N.

n es equivalente a una raíz de índice n de un radical de

m y esigual a una raíz de índice m⋅ n . Esto es:

m n

a =n

m

a = m⋅n a si a > 0 , m , n ∈ N.

Es importante notar que la suma algebraica de dos radicales de cualquier índice no es igual a la raíz de la
suma algebraica de los subradicales. Es decir:

n

a ± n b ≠ n a±b

De acuerdo con la ley de exponentes fraccionarios y de las propiedades de los radicales, el objetivo de
simplificar unradical es expresarlo en su forma más simple. Es decir, un radical está simplificado cuando:
•
•
•
•

No se puede extraer ningún factor del radicando (es el menor posible).
No puede reducirse su índice (es el menor posible).
El radicando no es una fracción.
No hay radicales en el denominador de una fracción.

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