radicales

Departamento de Matemáticas
Cálculos con radicales
Curso: 4º E.S.O.

Definición de radical
Lo primero que debes tener en cuenta cuando trabajes con radicales es que no son
más que potencias con exponente fraccionario. Recuerda,
m

n am =a n

Esto hace que los radicales tengan unas propiedades similares a las propiedades de las
potencias.

Aritmética con radicales
1ª propiedadPara sumar (restar) radicales necesitas que tengan el mismo índice y el
mismo radicando. En caso contrario dejaremos la expresión indicada.
Ejemplos

4⋅ 3  3=5⋅ 3

 2  3

(indicada)

 23 5

(indicada)

2ª propiedad Para multiplicar (dividir) radicales ¡SÓLO! necesitas que tengan el
mismo índice. En caso contrario dejaremos la expresión indicada.
Ejemplos



5 6 = 5 6=5 2
 2⋅ 3=  6 ó 5
3 3
 2⋅3 2 (indicada)
Cuando al intentar sumar, restar, multiplicar o dividir radicales llegues a un punto
donde tengas que dejar la expresión indicada todavía podrás aplicar un par de trucos
para seguir simplificando hasta el final.

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1er truco (suma y resta) Simplifica el radical extrayendo todos los factores posibles
antes derealizar ninguna operación.
Ejemplo

Imagina que nos interesa sumar  50  18 y no podemos porque no tienen el
mismo radicando. ¿Qué podemos hacer? Una solución es simplificar cada uno
de los radicales para ver si obtenemos algo compatible con la 1ª propiedad.

 50  18=  2⋅52  2⋅32=5⋅ 23⋅ 2=8  2
Practica este truco con las siguientes sumas y restas:
a)

8  3−2  22  3−2  2g)

b)

3  2−  8 50− 18

h)

c)

 12  3  27− 75

i)

12
1
5  27−  75
25
2

j)

 18  50−  2−  8
 27−  50  12  8
 125 54− 45−  24
3
24
3
3

 81−2  3

k)

2⋅ 755⋅ 147− 12

l)

3⋅ 50−5⋅ 323⋅ 98

d)



e) 2  2−
f)

1
 125 2  45
5
3

3 7 1 3 7 3 3 7
2

5

2

2º truco (multiplicación y división)Cuando quieras simplificar, comparar o multiplicar
(dividir) radicales que tienen diferente índice puedes reducirlos a índice común
utilizando el siguiente resultado matemático.

n a=  a p
n⋅p

Por ejemplo,

9 83=6 82 =3 8=2

Entonces, cuando quieras multiplicar (dividir) dos radicales que tienen índices
3
4
diferentes, por ejemplo  2⋅ 3 , lo que debes hacer es...
1. Calculael mínimo común múltiplo de los índices,
índice común que debes conseguir.

m.c.m.  3, 4  =12 . Éste será el

2. ¿Cómo? Muy fácil. Divide cada uno de los índices entre 12. Así, el primer índice
12
12
=4 y el segundo índice por
=3
lo tienes que multiplicar por
3
4
3. De esta forma 3 2⋅4 3=  2 1⋅3⋅  3 1⋅3=  24⋅  33 Y ya tienes preparados los
12
12
12
radicales para seguircon la multiplicación ...  2 4⋅  3 3=  2 4⋅33= 12 16⋅27=12 432
3⋅4

4⋅3

12

12

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Practica con estos ejercicios y recuerda
¡¡ El índice de la raíz cuadrada es 2 !!

 3=  31⋅2
2⋅2

a)

 2⋅ 2

e)

15

3

5

 2⋅ 3
6

i)

3 9⋅ 3
 27

b)

3 9
6 3

c)

 2⋅ 2⋅ 2

d)

4 8
3 4

f)

4 a10
 a3

g)

h)



4

6

8

1
⋅ a6
15 
a

1 3
⋅ 9
27

(ayuda: resuelve primero el numerador y después opera sobre la división)

Para poder seguir en nuestro viaje por el mundo de los radicales necesitamos
practicar con expresiones como las que siguen. Intenta simplificar al máximo y
recuerda:
¡¡ Los radicales también pueden ser exactos !!

 5⋅ 5=  5⋅5= 52=  25=±5
3 2⋅3 4=3 8=  23=2
3

Calcula las siguientes raíces utilizando sus propiedades:
b)

e)

 8100
 27:  3

i)

4 74

a)

c)

f)

 40000
 1000 :  10

d)

g)

 12100
 6⋅ 12:  2

h)

 5⋅ 20
 32 :  2

j)

 142

k)

3 53

l)

 3 −3 

3

Aplica las propiedades y escribe las expresiones como un único radical:
a)

 2⋅ 7

b)

 3⋅...