Radio de convergencia

Radio de convergencia

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Radio de convergencia
En matemáticas, según el teorema de Cauchy-Hadamard, el radio de convergencia de una serie de la forma , con , viene dado por la expresión:Definición
Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma , con

, recibe el nombre de serie de potencias centrada en . La serie converge absolutamente para un conjunto devalores de que verifica que , donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de pertenecientes al intervalo , , ya que , laconvergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para . Si lo hace paracualquier valor de

Ejemplos
Mostraremos el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de potencias con sus respectivos radios de convergencia sin justificar porqué el radio deconvergencia es el dado.

Radio de convergencia finito
La función siguiente aspecto: . (para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es si tomo cualquier valor cuya distancia ales menor que . Eso significa que para calcular , entonces al en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencia , tiene el

, por ejemplo el

remplazarlo en la serie el resultado decalcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de hecho . (la cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado . Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia,por ejemplo el , los más probable es que al

remplazarlo en la serie, ésta diverja (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente: .

Radio de convergencia

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Distancia a lasingularidad
El cálculo del radio de convergencia no es simple. Veamos una función con dos desarrollos en serie con distintos centros y analicemos sus radios de convergencia. La misma función en su...