Radioactivida

Descomposición radiactiva

Entre 1900 y 1902, Rutherford y Soddy (posteriormente galardonados ambos con el premio Nobel de Química), estudiaron la desintegración de la materia por emisión de radiactividad. Aunque existían algunos experimentos previos, los resultados que obtuvieron fueron realmente revolucionarios, pues se “rompía” definitivamente la idea de indestructibilidad de la materia.Las observaciones experimentales que realizaron les llevaron a proponer que la cantidad de núcleos atómicos ∆x de una sustancia radiactiva que se desintegran en un intervalo de tiempo ∆t es directamente proporcional al número de núcleos presentes, x, y al intervalo ∆t. Es decir:

∆x α x∆t

Si se consideran intervalos de tiempo infinitesimales, llegamos a la ecuación diferencial:

dy/dx=-ax

,donde a recibe el nombre de constante de desintegración radiactiva (obviamente a es positiva).
Podemos plantear entonces el problema de valor inicial:

{█(dy/dx= -ax@x(t_o )= x_o )┤

Cuya resolución es fácil (nótese que es idéntico al problema de valor inicial del Modelo de Malthus, ahora con constante -a, necesariamente negativa), obteniéndose:
x(t)=x_o e^(-a(t-t_o))

Es habitualdefinir en este tipo de modelos la “vida media”, o “semi-vida" (a veces denotada por T , y otras por ) de una sustancia radiactiva como el tiempo necesario para que una sustancia se desintegre hasta la mitad de su masa inicial. No es difícil demostrar que se verifica (ver problemas):

T=-1/a Ln2

EJERCICIOS:

Calcular la vida media del plutonio en años si su constan de descomposición esde -0.000029 y si 10 gramos es la muestra inicial del plutonio, ¿Cuánto tiempo toma para que solo el 10% de la muestra original se mantenga?.

Solución:
Podemos utilizar la formula de vida media para encontrar la constante de de desintegración radiactiva:

T=-1/a Ln2

T=-1/((-0.000029) ) Ln2

T = 23901.63 años.

Ahora, tenemos que encontrar, cuando tiempo toma para que sólo el 10%(1 gramo) se mantenga. Plugging into the exponential decay formula, we get the following: Utilizando la formula de decaimiento exponencial, obtenemos lo siguiente:
A(t)=A_o e^at

A(t)=cantidad de la muestra presente =1 gramo
A(0)= cantidad de la muestra inicial = 10 gramos
1gramo=(10gramos)〖 e〗^((-0.000029)t)

0.1=e^((-0.000029)t)

Ln0.1=-0.000029t

t=79399.49 años.


Un artefactooriginalmente había 12 gramos de carbono-14 presente. El modelo A=12e^(-0.000121t) describe la cantidad de carbono-14 después de t años. ¿Cuántos gramos de carboono-14, estarán presente en este artefacto después de 10.000 años.

SOLUCION:
Tenemos que encontrar, cuando gramos de carbono-14 estarán presentes después de 10.000 años
utilizando el dato que es la de de crecimiento exponencial:A=12e^(-0.000121t)

Reemplazamos el tiempo:

A=12e^(-0.000121(10000) )

A=12e^(-1.21)

A=3.578 gramos.

Habra aproximadamente 3.578 gramos de carbono-14 presentes después de 10.000 años




Un cierto elemento isotopo radiactivo decae exponencialemente de acuerdo con el modelo A=A_0 e^(-0.25t), donde A es el numero de grramos del isotopo en la final de los tiempo y A_0 es el numerode gramos que se presentan inicialmente. ¿Cuál es la vida media de este isotopo?

SOLUCION:
Para encontrar la vida media en este caso no utilizaremos la ecuación de vida media sino la de decrecimiento exponencial, en este caso se preguntaran cual es el valor de A y de A_0, bueno en la cantidad final siempre estará presente la mitad de la cantidad inicial por lo tanto tenemos:

〖A=0.5A〗_0Y esto reemplazamos en la ecuación dada:

0.5A_0=A_0 e^(-0.25t)

Multiplicando a ambos miembros por A_0:

0.5=e^(-0.25t)

Aplicando logaritmo natural a ambos miembros:

ln0.5=-0.25t

Despejando t tenemos:
t=2.77

La vida media de este isotopo es de 2.77 dias.





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