Raices Polinomicas

PROBLEMARIO DE ALGEBRA SUPERIOR

TEMA: RAICES DE POLINOMIOS

1. Demuestre el teorema del residuo: Si el polinomio P(x) se divide entre (x − r), el residuo es P(r).

SOLUCIÓN

En la división de P(x) entre (x − r), sea Q(x) el cociente y R, una constante, el residuo. Por definición, P(x) = (x − r)Q(x) + R, la cual es una identidad para todos los valores de x. Sea x = r,P(r) = R.

2. Determine el residuo R después de cada una de las divisiones siguientes:

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3. Demuestre el teorema del factor: Si r es una raíz de la ecuación P(x) = 0, entonces (x − r) es un factor de P(x); y, de lo contrario, si (x − r) es un factor de P(x), entonces r es una raíz de P(x) = 0.

SOLUCIÓN

En la división de P(x) entre (x − r), seaQ(x) el cociente y R, una constante, el residuo. Entonces, P(x) = (x − r)Q(x) + R o P(x) = (x − r)Q(x) + P(r) por el teorema del residuo.

Si r es una raíz de P(x) = 0, entonces P(r) = 0. De aquí que P(x) = (x − r)Q(x) o (x − r) es un factor de P(x).

De otra forma, si (x − r) es un factor de P(x), entonces el residuo de la división de P(x) entre (x − r) es cero. De aquí que P(r)= 0, es decir, r es una raíz de P(x) = 0.

4. Demuestre que (x − 3) es un factor del polinomio P(x) = x4 − 4x3 − 7x2 + 22x + 24.

SOLUCIÓN

P(3) = 81 − 108 − 63 + 66 + 24 = 0. De aquí que (x − 3) es una factor de P(x), 3 es una raíz del polinomio P(x) y 3 es una raíz de la ecuación P(x) = 0.

5. a) Es − 1 una raíz de la ecuación P(x) = x3 − 7x − 6 = 0?b) Es 2 una raíz de la ecuación P(y) = y4 − 2y2 − y + 7 = 0?

c) Es 2i una raíz de la ecuación P(z) = 2z3 + 3z2 + 8z + 12 = 0?

SOLUCIÓN

a) P(−1) = −1 + 7 −6 = 0. De aquí que − 1 es una raíz de la ecuación P(x) = 0, y [x − (−1)] = x + 1 es un factor del polinomio P(x).

b) P(2) = 16 − 8 − 2 + 7 = 13. De aquí que 2 no es raíz de P(y) = 0, y (y − 2)no es factor de y4 − 2y2 − y + 7.

c) P(2i) = 2(2i)3 + 3(2i)2 + 8(2i) + 12 = − 16i − 12 + 16i + 12 = 0. De aquí que 2i es una raíz de P(z) = 0, y (z − 2i) es un factor del polinomio P(z).

6. Demuestre que x − a es un factor de xn − an, si n es cualquier entero positivo.

SOLUCIÓN

P(x) = xn − an; por lo tanto P(a) = an − an = 0. Puesto que P(a) = 0, x − a esun factor de xn − an.

7. a)Demuestre que x5 + a5 es divisible exactamente entre x + a.

b) ¿Cuál es el residuo de y6 + a6 dividido entre y + a?

SOLUCIÓN

a) P(x) = x5 + a5; entonces P(−a) = (−a)5 + a5 = −a5 + a5 = 0. Puesto que P(−a) = 0, x5 + a5 es divisible exactamente entre x + a.

b) P(y) = y6 + a6. Residuo = P(−a) = (−a)6 + a6 = a6 + a6 =2a6.

8. Demuestre que x + a es un factor de xn − an cuando n es un entero positivo par, sin embargo, no es un factor cuando n es un entero positivo impar. Suponga que a ≠ 0.

SOLUCIÓN

P(x) = xn − an.

Cuando n es par, P(−a) = (−a)n − an = an − an = 0. Puesto que P(−a) = 0, x + a es un factor de xn − an cuando n es par.

Cuando n es impar, P(−a) =(−a)n − an = an − an = −2an. Puesto que P(−a) ≠ 0, xn − an no es divisible exactamente entre x + a cuando n es impar (siendo el residuo −2an).

9. Encuentre los valores de p para los que:

a) 2x3 − px2 + 6x − 3p es exactamente divisible entre x + 2,

b) (x4 − p2x + 3 − p) ÷ (x − 3) tiene un residuo 4.

SOLUCIÓN

a) El residuo es 2(−2)3 − p(−2)2 +6(−2) − 3p = −16 − 4p − 12 − 3p = − 28 − 7p = 0. Por lo tanto p = −4.

b) El residuo es 34 − p2(3) + 3 − p = 84 − 3p2 − p = 4. Por lo tanto, 3p2 + p − 80 = 0, (p − 5)(3p + 16) = 0 y p = 5, −16/3.

10. Por división sintética, determine el cociente y el residuo de lo siguiente:

(3x5 − 4x4 − 5x3 − 8x + 25) ÷ (x − 2)

SOLUCIÓN

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La...