raices racionales

RAÍCES DE POLINOMIOS
6.1. Generalidades
Ecuación Entera Racional


a0 xn+ a1 xn-1+ a2 xn-2+ a3 xn-3+ ...... an = 0
Donde a0 ≠ 0
n entero positivo e indica el grado de la ecuación
a0 , a1 , a2 , an son constantes y pueden ser reales o
números complejos
Ejemplos
3 x4– 24 x3 + 4 x2–29 x – 67= 0
(4-3 i) x4– (2+4 i) x3 +(3- 4 i) x2–(2-9 i) x – (6+7 i)= 0
1

RAÍCES DE POLINOMIOS
6.1. GeneralidadesPolinomio en x
Es una función en la variable x, de grado con la siguiente forma:
f(x) = a0 xn+ a1 xn-1+ a2 xn-2+ a3 xn-3+ ...... an
con a0 ≠ 0, n entero positivo y a0 , a1 , a2 , an constantes.
Entonces f(x)=0 es una ecuación racional entera de grado n en la
variable x
Ejemplo
f(x)= 3 x4– 24 x3 + 4 x2–29 x – 67
2

RAÍCES DE POLINOMIOS
6.1. Generalidades
Evaluación de Polinomios
Consistre en obtenerel valor del polinomio al sustituir el
valor de la variable en el polinomio
Ejemplo
Sea
f(x)= 3 x4– 24 x3 + 4 x2–29 x – 6
Para x =1 entonces f(1) = 3 (1)4– 24 (1)3 + 4 (1)2–29 (1)– 67
f(1) = -52

3

RAÍCES DE POLINOMIOS
6.1. Generalidades
Representación gráfica de Polinomios
Sea una función f (x). Para varios valores de x, evaluar la función y
mostrarse en una tabulación para obtener surepresentación
gráfica.
Ejemplo
Y
x f(x)
f(x)
X
4

RAÍCES DE POLINOMIOS
6.1. Generalidades
Raíces de Polinomios
El grado del polinomio es la cantidad de raíces que tiene.
Las raíces que puede tener un polinomio son de tres tipos:
raíces positivas
raíces negativas
raíces complejas
Las raíces también se pueden presentar con valores repetidos.
5

RAÍCES DE POLINOMIOS
61. Generalidades
Representacióngráfica de raíces reales de los Polinomios
Sea una función f (x) al graficarla, las intersecciones con el eje de
las X son las raíces reales de la función.
Se observa que para f(a) y f(b) la función tiene signo contrario,
entonces hay por lo menos una raíz entre a y b
Y
b

a
X

f(x)

6

RAÍCES DE POLINOMIOS
6.1. Generalidades
Representación gráfica de raíces complejas de los Polinomios

Si un polinomiof(x) tiene raíces complejas
Entonces si z1 = a + b i es una raíz, el complejo conjugado
z1 = a - b i También es raíz del polinomio.
Por lo tanto las raíces complejas se presentan por pares
I
• z1
• z1

R
7

RAÍCES DE POLINOMIOS
6.2. Reglas y Teoremas
Regla de Rufini o División Sintética
Es un método para dividir un polinomio f (x) por (x + r)
o sea f (x) / (x + r) . El divisor se obtienedespejando x=-r
Se obtienen los coeficientes del polinomio cociente (o polinomio
reducido) y el resto (o residuo) de la división.
Divisor
2
3 – 24 + 4 -29
– 6 Coeficientes de f(x)
6 - 36 -64 -186
3 - 18 -32 -93 -196
f(2) o residuo (resto)
coeficientes del Polinomio reducido (cociente)
8

RAÍCES DE POLINOMIOS
6.2. Reglas y Teoremas
Regla de Rufini
Ejemplo
f(x)= 3 x4– 24 x3 + 4 x2–29 x – 6 dividirlo porx-2 de4spejando x=2
Se obtiene
El polinomio cociente 3 x3 - 18 x2 -32 x -93
El resto (residuo) de la división f(2)= -196
Ya que f(2) ≠ 0 entonces x = 2 no es raiz

(de grado n-1)

9

RAÍCES DE POLINOMIOS
6.2. Reglas y Teoremas
Teorema Fundamental del Álgebra
Toda ecuación racional entera f(x) = 0 admite al menos una raíz
Real o Compleja.

10

RAÍCES DE POLINOMIOS
6.2. Reglas y Teoremas
Teorema delDivisor
Si r es una raíz de la función f(x) = 0 o sea f(r) = 0 entonces
(x – r) es un divisor de f(x).
f(x)= x4+5 x3 +5 x2–5 x - 6 dividido por x-1 (despejando x=1)
Realizando la división sintética se obtiene
1 1 5 5 -5 -6
1 6 11 6
1 6 11 6 0 como f(1) = 0 entonces x=1 es raíz
El polinomio reducido es x3 +6 x2 +11 x + 6 =0
11

RAÍCES DE POLINOMIOS
6.2. Reglas y Teoremas
Teorema del Residuo
Sea runa constante, si se divide el polinomio
f(x) = a0 xn+ a1 xn-1+ a2 xn-2+ a3 xn-3+ ...... an por (x – r),
el resto que se obtiene es f( r )

12

RAÍCES DE POLINOMIOS
6.2. Reglas y Teoremas
De la descomposición en factores
En un polinomio xn+ a1 xn-1+ a2 xn-2+ a3 xn-3+ .. an=0 con a1 =1
Existen las siguientes relaciones entre los coeficientes y las
raíces
 - a1= suma de las raíces
 a2= suma...