Raices Y Potencias

POTENCIAS – PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS - ECUACIONES EXPONENCIALES –
RAÍCES – PROPIEDADES DE LAS RAÍCES – APLICACIÓN – EJERCICIOS B.I. –
EJERCICIOS PSU - LOGARITMOS – PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS – CAMBIO DE
BASE - APLICACIONES

HISTORIA:
Antecedentes históricos señalan que fueron los algebristas babilonios quienes primero
estudiaron la resolución de las ecuaciones exponenciales por medio de untanteo inicial
seguido de una interpolación. con estos procedimientos trataron de calcular el tiempo
necesario para que una cantidad determinada de dinero se duplicara al ponerla a una
tasa dada de interés compuesto....
Sus tablas les indicaban que no todos los números racionales que figuraban en ellas
tenían una raíz cuadrada tabulada. Enfrentados a este problema, procedieron a
1
a + b2
. Dosmil años
obtener sus valores aproximados por medio de la regla a 2 + b 2 2 =
2a
después, Herón de Alejandría ( s. II a. De C.) deduciría esta misma regla. Resulta
interesante observar que esta aproximación razonable puede obtenerse hoy por medio
de la serie binomial de Newton. queda claro que, en cierta forma, los babilonios dos
mil años antes que los griegos, dominaban ya algunos aspectos delÁlgebra.

(

)

a n ; a ∈ R, n ∈ Z

Se denomina potencia de base real y
exponente entero a toda expresión de la
forma

PROPIEDADES
Potencias de igual base
Multiplicación
a m ⋅ a n = a m+n

División
a m : a n = a m−n

∀a ∈ R ; m, n ∈ Z

∀a ∈ R * ; m, n ∈ Z

Se conserva la base y se suman los Se conserva la base y se restan los
exponentes
exponentes

Potencias de igual exponente
Multiplicación
a m ⋅ b m =( a ⋅ b) m
∀a, b ∈ R ; m ∈ Z

Potencia de un producto

( a ⋅ b) m = a m ⋅ b m
∀a, b ∈ R ; m ∈ Z
Para elevar un producto a potencia, se
eleva cada factor al exponente común

División
m

a
am :bm =  
b
∀a , b ∈ R ; b ≠ 0 ; m ∈ Z

Potencia de un cuociente
m

am
a
  = m
b
b
∀a , b ∈ R ; b ≠ 0 ; m ∈ Z

Potencia de una potencia
( a m ) n = a m⋅ n

Potencia de exponente cero
a0 =1

∀a ∈ R ;m, n ∈ Z

∀a ∈ Z *
Para elevar una potencia a potencia, se Toda potencia de exponente
conserva la base y se multiplican los cero es igual a 1
exponentes
Potencia de base 1
1n = 1

Potencia de exponente negativo

a −m =

∀n ∈ Z

1
am

a
 
b

−m

b
= 
a

m

∀a, b ∈ R ; a, b ≠ 0 ; m ∈ Z *
Toda potencia de exponente negativo es
igual al valor recíproco de la base elevada
al mismoexponente, pero de signo
positivo.
Nota: Toda potencia elevada a exponente par es siempre positiva.
Nota: Toda potencia elevada a exponente impar es positiva si la base lo es y es
negativa si la base lo es.
a 2 n −1 > 0 si a > 0

a 2 n −1 < 0 si a < 0

( ) ( )

(1) 3a 4 ⋅ 2 a 3 ⋅ (2 a )
2

3

5

3a 2 ⋅ 4b 3 c
144 x13
2 a −3
⋅ x 3a + 4 ⋅ x 5− a
(3) x

( 2)

 2a 2 x 3 

( 4)  −
3 z 


3

 x 2 a −3b⋅ x 3 a + 5 b ⋅ x a −b
(5) 
3a − 2b
: x 3a + 2b
 x
 14 x 2 a + 3 7 x 4
(6 ) 
:
3a −2
10 x 5 a
 5x





2





2 a −3b

ECUACIONES EXPONENCIALES
Ecuación exponencial es aquella que tiene al menos una potencia con una o más
incógnitas en su exponente. Para resolver una ecuación exponencial debemos reducir
cada miembro a una potencia y luego igualar las bases, aplicando laspropiedades
correspondientes. En consecuencia, como las potencias son iguales, sus exponentes
también lo son, quedando así planteada la ecuación a resolver.
Ejemplo:

3
(0,75) 3 x − 2 =  
4
3
 
4
3
 
4

3x −2

3x −2

3
= 
4

2x

3
= 
4

2x

3x −2

3
3
= 
 
4
4
Igualando los

2x

9
• 
 16 

x +1

 3  2 
•   
 4  
3
• 
4

x +1

igualdad delas bases

2 x+2

potencia de una potencia

4 x+2

multiplicación de potencias
exp onentes

3x − 2 = 4 x + 2
x = −4
POTENCIAS DE BASE REAL Y EXPONENTE RACIONAL
1

POTENCIAS DE LA FORMA a n
1

a n = n a ; n ∈ N , Lo que se lee:

Raíz enésima de a

m

POTENCIAS DE LA FORMA a n
m

a n = n a m ; n ≠ 0 . Lo que se lee: Raíz enésima de a elevada a m

Nota: El valor de una raíz en el conjunto de los...