Raices Y Sus Operaciones1

Raices

25

52 = 25

25

Profesor Luis Alberto Valdivia Lizana

Notación
La raíz cuadrada de un número a, se representa por

a
En general, la raíz enésima de a se representa por:
n

a

El índice n, es un número natural, n ≥ 2. En el caso
de n = 2, raíz cuadrada, no hay que escribirlo.

El símbolo

se conoce como radical.

La parte dentro del radical se conoce como radicando.

El número pequeñofuera del radical, se conoce
como índice.

Definición
La raíz cuadrada de un número no negativo a, es un número
no negativo b tal que al elevar b al cuadrado obtenemos a.

a b

si y solo si b2 = a

Por eso decimos que la operación elevar al cuadrado, es
inversa a la operación obtener la raíz cuadrada.
Ejemplos:

9 3 porque 32 9
2

64 8 porque 8 64

En general, la operación radicación esinversa a la operación
exponenciación. Decimos que: n

a b

Si y solo si bn = a & a y b tienen el mismo signo.
Se debe notar que

9

no es un número real porque no existe ningún número tal que
al cuadrarlo de -9. Por eso decimos en general que

a existe en los reales si a > 0.
Lo mismo sucede con todas las raíces de índice par.

Ejemplos:
a)

3

27 3

porque 33 = 27

b)

3

 64  4

porque(-4)3 = -64

c)

5

 32  2

porque (-2)5 = -32

 16

no es real porque ningún número real
elevado a la cuarta potencia puede ser
negativo.

d) 4

Ejercicios:
e)

4

81 

f)

3

 1000 

.01 

g)
h)
i)

3

1

8
4

9

Propiedad #1:
Si

n

a R

y

n

n

n
n
a

b

a b
b  R entonces,

Demostración:
Si
Si

n

a u

entonces, un = a

n

b v

entonces, vn = b

Esto implica que:
ab = un vn =(uv)n
Por lo tanto,

n

a b

:aplicando las leyes de exponentes
= uv =

n

a

n

b

Propiedad #2:
n

Si

n

y n

a R

bR

entonces,

n

a

a

b
b
n

Demostración:
Si
Si

n

a u

entonces, un = a

n

b v

entonces, vn = b

Esto implica que:

a un  u 
 n  
b v
v
Por lo tanto,

n

:aplicando las leyes de exponentes
n

a u na
 n
b v
b

Ejemplos:
a)

b)

3

c)

3

4

25

8

1000
3d)

16

16

25

2
16



81

16

4
4

4
5


3

8

3

1000

3

2

16

81
16




3

3
2

2
1

10
5
1
1

8
2

Ejercicios:
9
36

e)

f)

3

2

g)

h)

0.001

18
4

1
81

Sumas o restas en el radicando
Cuando tenemos una suma o una resta en un radicando,
hay primero que efectuar la operación de suma o resta,
para luego llevar a cabo la radicación.
Esto es así porque:

a b  a  b
Bastaría uncontraejemplo para demostrarlo:

8  4  4  4  4 2  2  4

Sabemos que

8 4

por lo tanto, confirmamos lo antes expuesto,

a b  a  b
Lo mismo ocurre con la resta y con radicales de otros índices.

Radicales semejantes
Decimos que dos radicales son semejantes si tienen
el mismo índice y el mismo radicando.

Ejemplos:
Los siguientes pares de radicales son semejantes.

3 5

y

 23 3
54 2

85
43 3

y
y

4

2

Dos radicales semejantes se pueden combinar, esto es,
se pueden sumar o restar. Veamos como:

p n a  q n a  n a ( p  q ) ( p  q ) n a

Esto es, usando la propiedad distributiva, o factorizando
el término común de ambos términos. Finalmente, p y q
se suman, (o se restan si fuese el caso).

Ejemplos:
a) 5 2  2 2  (5  2) 2  3 2
b)  83 3  53 3 (  8  5)3 3  133 3c)

4 5  3 5 (4  3) 5 7 5

d)

2 3  5 2  2 2  3 3 (2  3) 3  ( 5  2) 2 5 3  3 2

*En este último ejemplo, note que combinamos sólo los
radicales semejantes.

Suponga que tenemos el siguiente caso:

2 75  3 48
Como no son radicales semejantes, no podemos combinarlos.
Sin embargo, podemos simplificar cada uno de ellos. Veamos:

75  25 3  25  3 5 3
48  16 3  16  3 4 3
Por lotanto, volviendo al ejercicio original,

2 75  3 48

=

2(5 3 )  3(4 3 )

=

10 3  12 3

=

22 3

Ejercicios:
e)

 7 3 3 3

f)

2 5  8 5 3 5 

g)

3 2  2 3 5 2 

h)

53 3  23 4  73 4  103 3

Simplificación de radicales
En ocasiones podemos descomponer un
radicando como el producto de otros números
de manera que alguno de los factores sea una
raíz exacta y por ende pueda salir...