Raices

Algebra universitaria

UNIDAD III. POLINOMIOS
3.4. Técnicas elementales para buscar raíces

Cuando el grado del polinomio y la cantidad de términos del mismo no
permiten la factorización directa, se requiere utilizar el siguiente
método.

Recordando la definición de raíz Un polinomio P(x) tiene una raíz “r”
si y solo si P(r) = 0.

Para un polinomio: p ( x) = an x n + an −1 x n −1 +... + a2 x 2 + a1 x + a0

Recordar el teorema de factorización lineal
Si p ( x) = an x n + an −1 x n −1 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0
El polinomio puede factorizarse a la forma:
p ( x) = an ( x − r1 ) ( x − r2 ) ( x − r3 ) ... ( x − rn )

p
q
Donde “p” son todos los factores (positivos y negativos) del término
constante a0 y “q” los factores (positivos y negativos) del término
principal an.Es decir, para el polinomio en su forma general:
p ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0
↨
↨
q = an
p = a0

Donde: an ≠ 0 y n ≥ 1.

Donde: an es el coeficiente principal y r1 a rn son las raíces complejas.

Técnicas elementales para buscar raíces
Una de las más sencillas es un proceso de factorización; a continuación
se muestran unos ejemplos:
Ejemplo 1. Encontrarlas raíces para el polinomio:
p ( x) = x3 − 6 x 2 − 16 x
Solución: Nos podemos dar cuenta por factorización que:
p ( x) = x3 − 6 x 2 − 16 x
p ( x) = x ( x 2 − 6 x − 16 )

Sus posibles raíces racionales esta dada por

Ejemplo: para el polinomio P(x)=3x2 + 2x - 5.
↨
↨
q = an
p = a0
q=3
p = -5
Entonces los factores (positivos y negativos) para cada término son:
p = ±5, ±1 y q = ±3, ±1p ( x) = x ( x + 2 )( x − 8 )
Y como las raíces son los valores que hacen que P(x)=0 igualamos a
cero el polinomio y determinamos los valores que hacen posible dicha
igualdad.
x ( x + 2 ) ( x − 8 ) = 0 Quedando las raíces como: x1=0; x2= -2 y x3=8.

Las posibles raíces del polinomio son:
p
51
= ±5, ± , ± , ±1
q
33
Determine las posibles raíces para los siguientes polinomios:
f (x) = 2 x 4 + 8 x3 + 10 x 2

Ahora puede hacerlo con los siguientes polinomios:
f ( x) = 2 x 4 + 8 x3 + 10 x 2

s ( x) = x 4 − 3 x 2 + 2 x − 5
Cada una se puede probar con división sintética, para determinar
las raíces definitivas; como se dará cuenta es un proceso largo, a
continuación se exponen algunas reglas que pueden ayudarnos a
hacer mas corto el proceso para probar las posiblesraíces.

q( x) = 3 x 2 − 10 x + 8

Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez

q( x) = 3 x 2 − 10 x + 8

1

Algebra universitaria

Cotas de las raíces reales.
Por cota se refiere a los límites entre los cuales se encuentran las raíces
del polinomio.

Otro ejemplo: Determine la cota inferior y superior para el siguiente
polinomio: p( x) = x3 − 3 x 2 − 2 x + 10 use los valores 1, 2, 3 y 4 comoposibles cotas superiores y para las cotas inferiores -1 y -2.

Se dice que a es una cota inferior y b una superior de las raíces de un
polinomio (o los ceros de un polinomio) si para cada raíz “r” se
satisface la siguiente condición: a ≤ r ≤ b.

Usando división sintética para probar las cotas superiores:

Sea un polinomio P(x) con raíces reales:
Si P(x) se divide entre x – b siendo que b> 0; y el renglón que
contiene tanto el cociente y el residuo son positivos, entonces b es una
cota SUPERIOR para las raíces de P(x).
Si P(x) se divide entre x – a; siendo que a < 0; y el renglón que
contiene al cociente y al residuo alternan su signo (positivo a negativo
y viceversa) entonces a es una cota INFERIOR para los ceros reales
de P(x).
NOTA: El cero puede ser consideradonegativo o positivo según
convenga para el teorema anterior.
Ejemplo: Demostrar que el polinomio s ( x) = x 4 − 3 x 2 + 2 x − 5 tiene
sus raíces reales entre – 3 y 2.
Dividiendo entre (x -2):

Nótese que se divide entre b >0 y
todos los coeficientes del cociente y
el residuo son positivos, por lo
tanto 2 es una cota SUPERIOR

Al dividir entre 4 (b > 0) todos los coeficientes del cociente y...