Raices

Raíces
Para graficarlo de algún modo:
Potencia Raíz



Los nombres de las partes que constituyen cada operación matemática son:
X: Base de la potencia X: Valor de la raíz
n: Exponente de la potencia n: Índice de raíz
a: Valor de la potencia a: Cantidadsubradical (o radicando)

Propiedades de las raíces
Debido a que las raíces pueden convertirse a potencias de exponente fraccionario, cumplen con todas las propiedades de potencias a partir de las cuales se pueden deducir las siguientes propiedades de raíces:
1) Multiplicación de raíces de igual índice:

Se multiplican las bases y se conserva el índice.

2) División de raíces de igualíndice:

Se dividen las bases y se conserva el índice.

3) Raíz de raíz:

Para obtener raíz de raíz se multiplican los índices y se conserva la base.

4) Raíz de una potencia cuyo exponente es igual al índice:

Exponente e índice se anulan entre sí, por lo tanto desaparece el radical y la base queda aislada.

5) Propiedad de amplificación:

Tanto el índice como el exponente de lapotencia pueden amplificarse por un mismo valor.

6) Ingreso de un factor dentro de una raíz:

(con la restricción que a>0 si n es par)
Para introducir un factor dentro de una raíz se coloca el factor dentro del radical como potencia con exponente igual al índice y multiplicando a los demás factores.
Observación: las propiedades anteriores son válidas solamente en el caso de que las raícesestén definidas en los números reales.
Suma y resta de raíces
Caso 1
Podemos sumar y restar radicales solamente cuando estos tengan el mismo índice y contengan una misma base (subradical o radicando).
Ejemplo:

Caso 2
¿Podremos sumar y restar radicales que tengan el mismo índice pero que tengan distinta base?
Ejemplo:

Aquí también se pide realizar una operación combinada de suma y resta.Sin embargo, no será posible porque los tres radicales poseen el mismo índice (2) y sus bases (o cantidades subradicales o radicandos) son diferentes, además de que son números primos y no se pueden factorizar.
Pero, veamos otro ejemplo:

Esta también es una operación combinada de sumas y restas de radicales que tienen el mismo índice (2) pero tienen distinta base. Pero aquí hay una diferencia:las bases se pueden factorizar, de tal modo que



Para quedar






División de raíces


División de raíces con el mismo índice
Una propiedad de las raíces nos dice que:
(y viceversa)

Entonces, si tenemos raíces de grado n que se estén dividiendo, podremos resolverlas por separado y después las dividimos, o también podríamos hacer primero la división y luego extraer laraíz.
Ejemplo1:


En el ejemplo mostramos la división de raíces en distintas formas (todas válidas), pero luego hemos extraído las dos raíces cúbicas y hemos dividido los resultados (los cocientes o cuocientes).
Ejemplo 2:

En este ejemplo, resolvimos primero la división de las cantidades subradicales y del resultado extraemos la raíz cúbica.
División de raíces con distinto índice
Sabemosque no podemos dividir raíces que tengan distinto índice, para también sabemos cómo igualar esos índices, y para hacerlo utilizamos la propiedad de amplificación:
Veamos un ejemplo:

El numerador tiene índice 2 (que no se escribe), el denominador tiene índice 3, buscamos entonces el m.c.m. entre 2 y 3, que seis, entonces amplificamos por 6 ambos términos de la división para igualar los índicesa seis:

Multiplicación de raíces
Multiplicación de raíces de igual índice

Según una propiedad de los radicales:

Esto significa que si dos números están multiplicándose dentro de una raíz, se puede extraer la raíz de cada uno de ellos en forma separada y luego multiplicarlos; o también que si hay dos raíces de igual grado multiplicándose se pueden multiplicar los números y...