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Integral definida
La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, con signo positivo cuando la función toma valores positivos y negativo cuando toma valores negativos.
Área bajo la curva
oncepto de integral definida
La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo[a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.
La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] sedenota como:

Propiedades de la integral definida
La integral definida cumple las siguientes propiedades:
* Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.
* Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.
* La integral de una suma de funciones es igual a la suma desus integrales tomadas por separado.
* La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).
* Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.
* Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):

* Para todo puntox del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x)  g (x), se verifica que:

ntegrales indefinidas
La idea de la integral indefinida supuso un paso más en el camino de la abstracción emprendido por las matemáticas modernas. Con ella, la integral dejó de referirse únicamente a un modo de determinar las áreas que forman curvas y rectas para asumir la condiciónde función en sí, susceptible de formar parte de ecuaciones y descripciones de modelos en el gran marco de las teorías del análisis matemático.
Primitivas
Dada una función f (x), se dice que la función F (x) es primitiva de ella si se verifica que F’ (x) = f (x). La operación consistente en obtener la primitiva de una función dada se denomina integración, que es la inversa de la derivación.De esta definición se desprende que la función f (x) posee infinitas primitivas, ya que si F (x) es primhtiva de f (x), también lo será cualquier otra función definida como G (x) = F (x) + C, siendo C un valor constante.
El conjunto de todas las primitivas de una función f (x) dada se denomina integral indefinida de la función, y se denota genéricamente como:

Las primitivas de una funciónforman una familia de curvas desplazadas verticalmente unas de otras. Así, la función f (x) = x tiene infinitas primitivas que difieren en una constante, tal como se muestra a la derecha.
Propiedades de las primitivas
Aplicando las propiedades de la derivación (ver t43), es posible determinar algunas propiedades comunes de la integración. Las siguientes propiedades de linealidad sirven paradescomponer integrales complicadas en otras más sencillas:
* La integral de la suma (o diferencia) de dos funciones es igual a la suma (o diferencia) de las integrales de cada una de ellas.

* La integral del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la integral de la función.

Antiderivada
Las operaciones de integración y derivación son mutuamenteinversas. Así, si se deriva una función y después se integra, se obtiene de nuevo la función original (más una constante). Por ello, es habitual llamar antiderivada a la integral indefinida de una función.
Cálculo de áreas
La integral de una función continua entre los dos extremos de un intervalo [a, b] y tal que f (x)  0  x  [a, b] coincide con el área comprendida entre dicha función, el...