Raiz Cuadrada

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RAIZ CUADRADA
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Función raíz cuadrada
La raíz cuadrada permite definir una función real sobre los números no negativos, para cada número real x esta función se define como el único número no negativo y que elevado al cuadrado es igual a x. Consiste en hallar el número del que se conoce sucuadrado. La función raíz cuadrada de x se expresa equivalente de las siguientes maneras:

Usualmente la raíz cuadrada de un número entero no es un número racional a menos que el número entero sea un cuadrado perfecto, como por ejemplo:

ya que:

El descubrimiento de que la raíz cuadrada de muchos números era un número irracional se atribuye a los pitagóricos. Los babilonios y egipcios ya disponíande medios de estimar numéricamente la raíz cuadrada, pero su interés parece haber sido eminentemente práctico por lo que no parecen existir referencias sobre la naturaleza de la raíz cuadrada y el problema de si esta podía ser expresada como cociente de dos números enteros.
Propiedades generales
La función raíz cuadrada  es una función cuyo dominio e imagen es el conjunto  (el conjunto de todoslos números reales no negativos). Esta función regresa un valor que es único. Las siguientes propiedades de la raíz cuadrada son válidas para todos los números reales no negativos x, y:
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*
* La función raíz cuadrada, en general, transforma números racionales en números algebraicos;  es racional si y sólo si  es un número racional que puede escribirse como fracción de dos cuadradosperfectos. Si el denominador es , entonces se trata de un número natural. Sin embargo,  es irracional.
* La interpretación geométrica es que la función raíz cuadrada transforma la superficie de un cuadrado en la longitud de su lado.
* Contrariamente a la creencia popular,  no necesariamente es igual a . La igualdad se mantiene sólo para los números no negativos , pero cuando ,  es unnúmero positivo, y entonces . Por lo tanto,  para todos los números reales  (véase valor absoluto).
* Suponga que  y  son números reales, y que , y se desea encontrar . Un error muy común es "tomar la raíz cuadrada" y deducir que . Esto es incorrecto, porque la raíz cuadrada de  no es , sino el valor absoluto , una de las reglas descritas anteriormente. Luego entonces, todo lo que se puede concluires que , o equivalentemente .
* En cálculo, cuando se prueba que la función raíz cuadrada es continua o derivable, o cuando se calculan ciertos límites, la siguiente igualdad es muy útil (consiste en multiplicar y dividir por el conjugado, véase Binomio conjugado):

y es válida para todos los números no negativos  e  que no sean ambos cero.
* La función  es continua para todos losnúmeros no negativos  y derivable para todos los números positivos  (no es derivable para  ya que la pendiente de latangente ahí es ∞). Su derivada está dada por

* Las Series de Taylor de  en torno a  se pueden encontrar usando el Teorema del binomio:
| |
| |
converge para . | |

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Raíz cúbica
En general, un número real posee tresraíces cúbicas, una correspondiente a un número real, y las otras dos a números complejos. Así, las raíces cúbicas de 8 son:redondas

La operación de calcular la raíz cúbica de un número es una operación asociativa con la potenciación y distributiva con lamultiplicación y división, pero no es asociativa o distributiva con la suma o la resta.
-------------------------------------------------Definición Formal
Las raíces cúbicas de un número  son números  que satisfacen la ecuación

Números reales
Si x e y son reales, entonces existe una única solución tal que la ecuación tiene además una única solución, y ésta corresponde a un número real. Si se emplea esta definición, la raíz cúbica de un número negativo es también un número negativo. De esta forma el principio de la raíz cúbica...