Ramona

I TEORÍA BÁSICA DE CONJUNTOS
1
1. Introducción 3
1.1. Pinceladas históricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Teoría intuitiva de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1. La selva de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2. Problemas en la teoría intuitiva de conjuntos: la paradoja
de Russell . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 6
1.2.3. Solución de las paradojas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. El Universomatemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4. Teoría axiomática de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. Álgebra de Conjuntos 9
2.1. El lenguaje de la Teoría de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2. Igualdad, inclusión y conjunto vacío . . . . . .. . . . . . . . . . 10
2.3. Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3. Relaciones y Funciones 13
3.1. Clases unitarias, pares y díadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2. Conjunto potencia (o conjunto de las partes de un conjunto) . . 13
3.3. Gran unión y gran intersección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4. Producto cartesiano . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.5. Relaciones binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.6. Relación inversa, producto relativo y restricción . . . . . . . . . . 15
3.7. Imagen bajo una relación y relación identidad. . . . . . . . . . . 16
3.8. Propiedades de ciertas relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.9. Relaciones de equivalencia . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.10.Relaciones de Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.11.Funciones, composición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.12.Funciones de A en B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
iii
iv ÍNDICE GENERAL
II Teoría de Conjuntos Axiomática
21
4. Primeros Axiomas 23
4.1. Axiomas de Extensionalidad y deSeparación . . . . . . . . . . . 23
4.2. Axiomas del Par, de la Unión y de las Partes . . . . . . . . . . . 23
4.3. Axioma de Reemplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5. Construcción de los Ordinales 25
5.1. Buenos órdenes e inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.1.1. Inducción en un conjunto bien ordenado . . . . . . . . . . 26
5.1.2. Inducción en elconjunto de los números naturales . . . . 26
5.2. Buenos órdenes y ordinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.2.1. Comparación de conjuntos bien ordenados: Isomorfismos . 27
5.2.2. Segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.2.3. Ordinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.3. Observaciones acerca de los ordinales . . . . . . . . . .. . . . . . 28
6. La Jerarquía de Zermelo 31
6.1. Construcción de la Jerarquía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.2. Axiomas involucrados en la construcción de la jerarquía . . . . . 32
7. Los Axiomas de Elección y Constructibilidad 35
7.1. Axioma de la elección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
7.1.1. Otras formulaciones del axioma de elección . . . . . . . . 367.1.2. Importancia del Axioma de Elección . . . . . . . . . . . . 36
7.2. Axioma de Constructibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
8. Ejercicios 39
8.1. Igualdad, Inclusión y Conjunto vacío . . . . . . . . . . . . . . . . 39
8.2. Operaciones: Algebra de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
8.3. Clases Unitarias, Pares y Díadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408.4. Conjunto Potencia (o Conjunto de las Partes de un Conjunto) . . 40
8.5. Gran Unión y Gran Intersección . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8.6. Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
8.7. Relaciones Binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
8.8. Relación Inversa, Producto Relativo y Restricción . . . . . . . . . 42
8.9. Imagen...