Rango de una matriz

Rango de una matriz
Definicion:
Rango de una matriz: es el número de líneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmente independientes.
Una línea es linealmente dependiente de otra uotras cuando se puede establecer una combinación lineal entre ellas.
Una línea es linealmente independiente de otra u otras cuando no se puede establecer una combinación lineal entre ellas.
El rango deuna matriz A se simboliza: rang(A) o r(A).
También podemos decir que el rango es: el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula. Utilizando esta definición se puede calcular el rango usandodeterminantes.
Se puede calcular el rango de una matriz por dos métodos:

1º. Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss
Podemos descartar una línea si:
* Todos sus coeficientes sonceros.
* Hay dos líneas iguales.
* Una línea es proporcional a otra.
* Una línea es combinación lineal de otras.

F3 = 2F1
F4 es nula
F5 = 2F2 + F1
r(A) = 2.
En general consiste en hacernulas el máximo número de líneas posible, y el rango será el número de filas no nulas.

F2 = F2 - 3F1
F3 = F3 - 2F1

Por tanto r(A) = 3.

2º. Cálculo del rango de una matriz por determinantesEl rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula.

Podemos descartar una línea si:
* Todos sus coeficientes son ceros.
* Hay dos líneas iguales.
* Una línea es proporcional aotra.
* Una línea es combinación lineal de otras.
Suprimimos la tercera columna porque es combinación lineal de las dos primeras: c3 = c1 + c2

Comprobamos si tiene rango 1, para ello se tieneque cumplir que al menos un elemento de la matriz no sea cero y por tanto su determinante no será nulo.
|2|=2≠0

Tendrá rango 2 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 2, tal que sudeterminante no sea nulo.
 
Tendrá rango 3 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 3, tal que su determinante no sea nulo.

Como todos los determinantes de las submatrices son nulos no tiene rango...