Rapidez De Escape

CONSIDERACIONES ENERGÉTICAS EN EL MOVIMIENTO PLANETARIO Y DE SATELITES
Datos importantes a tomar en cuenta:
* Para esto se considera a un objeto de masa “m” que se mueve con una rapidez “v” en torno a un objeto de masa mucha más grande “M”, tanto que M > > m.
* Este sistema está definido para planetas que se mueven entorno al Sol, un satélite que orbita alrededor de la Tierra o unque pasa solo una vez alrededor del Sol.
* También asumimos que el objeto de masa M esta en reposo con respecto a un margen de referencia inercial, además la energía mecánica total E para dos objetos separados por una distancia dentro del sistema, es la suma de la inercia del objeto de masa m y la energía potencial de todo el sistema.
Para ello está definida una ecuación que es:

Ahora delo anterior podemos concluir que la E mecánica puede ser positiva, negativa o valer cero dependiendo de la v. Pero para un sistema ligado como el sistema Tierra-Sol, E tiene que cumplirse que E<0, porque cuando U0 conforme r∞. Por lo explicado hasta ahorita podemos decir que la segunda ley de Newton se aplica así para un objeto de masa m.

El resultado de igualar las ecuaciones anterioresdefine la Energía total para orbitas circulares:

Tipos de sistema:
* Orbitas Circulares:

Sola para la orbitas circulares la E mecánica es negativa
La energía cinética es positiva e igual a la mitad del valor absoluto de la energía potencial.
El valor absoluto de E = E del enlace del sistema, dado que esta cantidad e energía debe proporcionarse al sistema para separar a los dos objetosinfinitamente

* Orbitas Elípticas:

La energía mecánica también es negativa
La ecuación para orbitas elípticas es la misma que para orbitas circulares con la única diferencia que en vez de ser dependiente de r, es dependiente de a que es el semieje mayor para orbitas elípticas

* Si la E total es constante se supone que el sistema está aislado, y aunque el objeto de masa m se muevadesde un punto A hasta un punto B, la E sigue constante por lo que la ecuación cambia:

E = 12mvi2 - GMmri = 12mvf2 -GMmrf
De todo lo anterior podemos decir que tanto la energía total como la cantidad de movimiento angular total de un sistema de dos objetos gravitacionalmente ligados son constantes del movimiento.
RAPIDEZ DE ESCAPE
Podemos definir rapidez de escape como la rapidez mínima quedebe tener un objeto en la superficie de la tierra para aproximarse a una distancia de separación infinita desde la tierra. Al viajar con esta rapidez mínima, el objeto continúo moviéndose cada vez mas lejos de la tierra conforme su rapidez se aproxima asintóticamente a 0.
La definición de la expresión de cómo encontrar la Rapidez de escape vesc, podemos obtenerla de la siguiente manera:
Supongaun objeto de masa m que se proyecta verticalmente hacia arriba desde la superficie de la tierra con una rapidez inicial Vi alcanzando una altura máxima h. Es posible usar las consideraciones energéticas para encontrar el valor mínimo de la rapidez inicial necesaria para permitir al objeto moverse infinitamente lejos de la tierra.
La expresión de la energía mecánica inicial de un sistema entre dosmasas m y M; donde M estará en reposo y es mucho mayor en masa que m, es:
Ei= (½)mv2 – (GMm/r )
Donde v seria la velocidad inicial mínima, r es la distancia que separa a M y m; por ultimo G es la constante llamada “constante de la gravitación universal” su valor: 6.673 * 10-11 N*m2/Kg2.

Al resolver para la energía mecánica total de un sistema objeto – tierra, donde la energía se conserva:Ki - Ui = Kf - Uf;
(½)mvi2 – (GMtm/Rt )= 0 –GMt m/rmax
Donde Mt es la masa de la tierra rmax la distancia entre la altura máxima h y el centro de la tierra y RT es la distancia del centro de la tierra a la corteza terrestre (su radio), asumiendo que la vf=0.
Despejando para vi
vi 2 = 2 ( (GMT/RT) – (GMt /rmax) ); sacando factor común:
vi 2= 2 GMt (1/RT - 1/rmax) // para una altura...