Rapidez de una onda

RAPIDEZ DE UNA ONDA EN UN HILO: SEGUNDO MÉTODO
He aquí una deducción alternativa de la Ecuación:
(19-13)


Si usted no maneja con confianza las derivadas parciales, puede pasarla por alto.Aplicamos la segunda ley de Newton:

A un pequeño segmento de hilo cuya longitud en la posición de equilibrio es ∆X.La masa del segmento es m= µ∆x; las fuerzas en los extremos se representan entérminos de sus componentes X Y Y
Las componentes x tienen la magnitud igual a F y su suma es 0 porque el movimiento transversal y no hay componente de aceleración en la dirección x.
Para obtenerF 1y y F 2y observamos que el cociente F 1y / F es igual en magnitud a la pendiente del hilo en el punto xy que F 2y/ F es igual a la pendiente en el punto x+ ∆x
Teniendo cuidado con los signos,vemos que:
(19-14)

La notación nos recuerda que las derivadas se calculan en los puntos X Y Y + ∆X, respectivamente. Por la Ec. Anterior vemos que la componente neta y dela fuerza es:

Ahoraigualamos Fy de la Ec. Anterior a la masa µ∆x multiplicada por la componente y de la aceleración ∂2y/∂t2.Obtenemos:

O bien dividido entre F ∆×,

Ahora tomamos el limite cuando ∆X→0. En estelímite, el lado izquierdo de la Ec. Anterior se convierte en la derivada de ∆y /∆× respecto a × (con t constante), es decir, la segunda derivada (parcial) de y respecto a x:

Por fin llegamos al desenlacede nuestra historia. La Ec anterior tiene exactamente la misma forma que la ecuación de onda, que dedujimos al final de la (ec. 19-4). Esa ecuación y la ecuación anterior describen el mismomovimiento, asi que deben ser idénticas. Si comparamos las dos ecuaciones, vemos que para que asi suceda debemos tener:

Que es la misma expresión de la ecuación (19-13)
En esta deducción no hicimossupuestos especiales acerca de la forma de la onda. Puesto que nuestra deducción nos llevó a redescubrir la ecuación (19-12), la ecuación de onda, concluimos que la ecuación de ondas es válidas para las...