Razon de cambio

Problemas de razon de Cambio
Problema de la sombra
Paulina, de de alto, corre en la noche alejandose de un poste a la velocidad de el foco del poste que ilumina a Paulina esta a de altura. A medida que se aleja del poste la sombra de lella crece (¿es verdad? o ¿realmente decrece?).
Contestemos las siguientes preguntas
a.- ¿A qué velocidad cambia el largo de la sombra de Paulina ?
b.- Elextremo de la sombra se aleja también del poste, la velocidad de este alejamiento ¿ es la misma velocidad de la niña? o ¿es la misma velocidad dada como respuesta a la pregunta anterior?.

Sea:
la distancia de la niña al poste en el instante
el largo de la sombra de la niña en el tiempo
Entonces la velocidad de la niña es y en término de estas variables, lo que buscamos para contestar laprimera pregunta es
Lo que debemos hacer es encontrar una relación en donde aparezca y después derivar.
Como los triángulos y son semejantes (tienen los mismos ángulos), se da la siguiente relación entre los lados

y de esta forma tenemos

Que es lo mismo que

derivando a ambos lados

La pregunta b se refiere a la derivada de la suma y como conocemos cada derivada, la respuesta esno es igual a ninguna de las dos sugeridas, la velocidad del extremo de la sombra es
Supongamos ahora que Pedrito es el que corre, pero a
´¿Cuál corre más rápido, Pedrito o la niña?
Si Pedrito mide ¿A qué velocidad el extremo de la sombra se aleja del poste?
Problema de la escalera
Una escalera de metal con ruedas en su base esta apoyada en una muralla de tal forma que su extremosuperior esta a del suelo. El bloqueo de sus ruedas le impide moverse. La escalera mide de largo y es pesada de modo tal que cuando se desbloquean las ruedas la escalera se desliza en la muralla moviendose su extremo superior a la velocidad de Cuando esta a un metro del suelo ¿a qué velocidad se mueven las ruedas en ese instante?
Para contestar esa pregunta necesitamos definir algunas variables yhacer un diagrama del problema
El diagrama del problema es:.

Sean:
la distancia de las ruedas a la muralla y
la distancia del extremo superior de la escalera al suelo.
Por lo tanto y lo que buscamos es en que es el instante en que la escalera está a del suelo, es decir, metro.
Como se ve, la muralla con la escalera y el suelo en todo tiempo forman un triángulo rectángulo asi tenemos elteorema de Pitágoras,

derivando en ambos lados de la igualdad (y usando la regla de la cadena) tenemos

y por lo tanto en el instante

Usando podemos obtener

Por lo tanto las ruedas se deslizan a la velocidad de

¿Por qué nos dió una respuesta negativa?
Por el sistema de referencia elegido; como la distancia disminuye, la velocidad de caida de la escalera debería ser negativa, esdecir, en vez de haber puesto en deberiamos haber puesto
Problema de la Sombra 2
En el cruce de dos calles, que tienen ancho cada una, hay un poste de 3 metros de alto en una de las esquinas. En la noche Pedrito, de , camina aalejandose de la esquina por la vereda contraria al poste y a un metro de la orilla de la calle.
¿A qué velocidad se alarga la sombra de Pedrito cuando este seencuentra a de la orilla de la calle que recien cruzó?

Como podemos ver en el diagrama este se puede simplificar a un triángulo rectángulo como sigue

Sea
distancia de Pedrito a la base del poste ()
largo de la sombra de Pedrito ()
distancia de Pedrito a la calle transversal a la calle donde camina ()
Sea el instante que Pedrito esta a
¿Qué buscamos ?,El valor de ,
¿Qué conocemos?Como tenemos dos triángulos rectángulos semejantes

Por lo tanto necesitamos conocer Como AFC forma un triángulo rectángulo, tenemos

derivado

asi, en el instante

En el instante usando tenemos

De esta forma logramos y así,

El globo de Pedrito
En una carretera un auto va a en el interior va Pedrito con un globo con helio. Pedrito suelta el globo y este sube en forma...