Razon De Cambio

RAZÓN DE CAMBIO

Es el otro nombre que se le da a la derivada cuando esta como el límite de un cociente.
Si xo es el punto del dominio de la función y=f(x) entonces:
f'xo=lim∆x→o∆y∆x, donde ∆y=fxo+∆x-fxo y ∆x=(x-xo).

El incremento de ∆y mide el cambio experimentado por y=f(x), cuando cambia de xo a xo+∆x. Esto quiere decir que el cociente ΔyΔx= fXo+∆x-fXo(x-xo) , es la razón del cambiodel y respecto a x cuando x cambia de (xo) a (xo+∆x). El límite de este cambio promedio cuando ∆x→o es el cambio instantáneo de y respecto a x en xo.
En resumen:
Si y=f(x), la razón de cambio instantánea de y respeco a x en xo es f'xo.

Se conocen dos tipo de razones de cambio:
* Velocidad: es la razón de cambio de la distancia con respecto al tiempo.
* Aceleración: es la razón decambio de la velocidad con respecto al tiempo.
Ejemplo:
* Sea V el volumen de un cubo de x cm de aristas. Esto es V=x3 hallar:
a) La razón de cambio promedio de V cuando x cambia de 5 a 5.1.
b) La razón de cambio de V cuando x=5
SOL:
A. Xo= 5, ∆x=5.1-5=0.1
ΔVΔx=V5-0.1-V(5)0.1=(5.1)3-(5)30.1=76.51 cm3
B. Nos piden V’(5)
V’(5)=3x2→V'5= 3(5)2=75 cm3
RAZONES DE CAMBIORELACIONDAS
Supongamos que tenemos dos funciones y estas son funciones del tiempo x=f(y) ; y=(gx) y dichas funciones están relacionadas con una ecuación f(x.y)=0. Derivando implícitamente dicha ecuación respecto al tiempo encontramos otras ecuaciones que relacionan dxdt; dydt y por esto decimos que estas ecuaciones son Razones de Cambio Relacionadas. Es decir que si encontramos alguna de las funciones,fácilmente encontraremos la otra.

Pasos para resolver Razones de Cambio Relacionadas
1. Construir la figura que ilustre el problema, indicando las constantes y las variables.
2. Identificar lo que se pide y además, escribir los datos que se nos proporcionan.
3. Escribir las ecuaciones que relacionen las constantes y las variables.
4. Derivamos implícitamente las escuacionesencontradas en el paso 3.
5. Sustituir en la ecuación que resulta de derivar implícitamente los datos para hallar la repuesta que se nos pide.

Ejemplos:
* Una bailarina de ballet mide 1.60 mts de estatura se encuentra ensayando en una habitación que esta alumbrada por un foco colocado en el centro a 4 mts de altura. Si en determinado instante la bailarina se aleja del centro a razón de45m/min. ¿ A razón de cuantos metros por minuto crece la sombra en ese instante?
Sol:
En este ejemplo resolveremos el problema indicando los pasos a seguir
PASO I construcción de la figura

PASO II identificación de la información
dxdt⃒t=to=45m/min → razón con la cual se aleja la bailarina

dsdt⃒t=to Donde S es la longuitud de la sombra. Esto es lo que nos piden hallar

PASO III escribirlas ecuaciones
Por semejanzas de triangulo tenemos que:
ss+x=1.64 S=23X
PASO IV derivamos implícitamente la ecuación encontrada
dxdt⃒t=to=45m/min
23dxdt⃒t=to=45m/min
dxdt⃒t=to=23(45m/min)=30m/min
El instante con el que crece la sombra es 30m/min

* Los extremos de una escalera de 5 m de longitud están apoyados sobre una pared vertical y sobre un piso horizontal. Si alempujarla por la base se logra que esta se aleje de la pared a razón de 20 m/seg. ¿Con que rapidez baja el extremo superior de la escalera cuando la base está a 3 m de la pared?
SOL:

Sea x la distancia de la pared al extremo inferior de la escalera.
Sea h la altura desde el suelo al extremo superior de la escalera.
Nos piden hallar la rapidez con que baja el extremo superior de la escalera cuandola base esta a 3 m de la pared. En otros términos, nos piden la razón de cambio de h respecto al tiempo cuando x=3. Es decir, nos piden:
dhdt⃒x=3
Como dato nos dan la razón con que la base de la escalera se aleja de la pared. Es decir nos dan:
dxdt⃒=20m/seg
Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos que:
h2+x2=52 (1)
Derivamos implícitamente esta ecuación respecto a t....