Razon De Cambio

Se lanza un cohete verticalmente y se rastrea en una estación de radar localizada en la Tierra a 5 millas de la plataforma de lanzamiento. Suponga que el ángulo de elevación θ de la línea de visiónal cohete aumenta 3° por segundo cuando θ=60°.
¿Cuál es la velocidad del cohete en este instante?

1. Dibuje un diagrama y etiquete como variables las diferentes cantidades cambiantes quecontiene el problema.

dydt= ?dθdt=3°seg
θ=60x=5mi
2. Registre los valores de las variables y sus tasas de cambio, según se proporcionen en el problema.
Condiciones dadas |Requerimientos |
5 millas=xdθdt=3°segθ=60 | dθdt= ? |
3. Utilice una ecuación que relacione los datos conocidos y los datos que se necesitan conocer, según el diagrama del punto 1 .
tanθ=yx
4. Aplique, enesta ecuación, derivación implícita respecto al tiempo t.
(secθ)2dθdt=dydtx-dxdtyx2
Acá se realiza la derivada de un cociente, teniendo en cuenta las derivadas implícitas, es importante observarque dxdt=0 porque la longitud x es igual a constante , o sea no tiene razón de cambio, por eso la mejor decisión es usar una razón trigonométrica que incluya la variable , x , y y theta .
5.Sustituya los datos numéricos en la ecuación resultante y luego despeje la variable desconocida.
(secθ)2dθdt=dydtxx2(secθ)2dθdt=dydtx(x)(secθ)2dθdt=dydt |
(secθ)2=1(cosθ)2 (sec60)2=1(cos60)2(sec60)2=1122 (sec60)2=4 | dθdt=3°seg 180°→π 3°→π60s |
(x)(secθ)2dθdt=dydt(5mi)(4)π60seg=dydtπ mi3seg=dydtπ mi3seg*3600segh=3769,9≈3770mih |
La velocidad del cohete a los 3°seg es de 3770mih....