Razon De Verosimilitudes Generalizada

Raz´n de verosimilitudes generalizada o
En lo que sigue X1 , . . . , Xn es una muestra aleatoria de una densidad f (x; θ), θ ∈ Θ. Sean Θ0 ⊂ Θ y las hip´tesis o H0 : θ ∈ Θ0 vs H1 : θ ∈ Θ − Θ0 . (1) Definici´n 1 Sea L(θ : x1 , . . . , xn ) la funci´n de verosimilitud para la muestra X1 , . . . , Xn . o o La raz´n de verosimilitudes generalizada, denotada por λ, est´ definida por o a λ = λ(x1 , . . ., xn ) = supθ∈Θ0 L(θ; x1 , . . . , xn ) . supθ∈Θ L(θ; x1 , . . . , xn )

Algunas observaciones importantes son las siguientes: 1. De la definici´n se obtiene que λ es una funci´n de x1 , . . . , xn . De esta manera, si o o sustituimos las observaciones por sus variables aleatorias correspondientes X1 , . . . , Xn , obtenemos un estad´ ıstico, el cual denotaremos por Λ, es decir, Λ = λ(X1 , . . ., Xn ). 2. Tambi´n de la definici´n se sigue que 0 ≤ λ ≤ 1. e o 3. Aunque se usa la simbolog´ λ para denotar la raz´n de verosimilitudes generalizada, ıa o ´sta no se reduce a la raz´n de verosimilitudes simple para Θ = {θ0 , θ1 }. e o 4. El par´metro θ puede ser un vector. a 5. Si el estimador de m´xima verosimilitud es unico, entonces el denominador de λ es la a ´ funci´n de verosimilitudevaluada en el estimador de m´xima verosimilitud. o a Por las observaciones anteriores, Λ se puede utilizar como estad´ ıstico de prueba para el juego de hip´tesis (1). De esta forma, se puede obtener la prueba: rechazr H0 si y s´lo si o o λ ≤ λ0 , donde λ0 ∈ (0, 1) y se determina fijando el tama˜o de la prueba. n Existen dos posibles dificultades para las pruebas basadas en λ. La primera es que puede noser una tarea sencilla hallar sup L(θ; x1 , . . . , xn ). La segunda, encontrar la distribuci´n o de Λ, la cual se requiere para evaluar la potencia de la prueba. Ejemplo 1 Sea X1 , . . . , Xn una muestra aleatoria de f (x; θ) = θe−θx I(0,∞) (x), Θ = (0, ∞). Sean las hip´tesis o H0 : θ ≤ θ0 vs H1 : θ > θ0 . Encuentre una prueba para las hip´tesis anteriores usando la raz´n de verosimilitudes genoo eralizada. Soluci´n. Tenemos a Θ0 = (0, θ0 ] y la funci´n de verosimilitud dada por o o L(θ, x1 , . . . , xn ) = θn e−θ
n i=1

xi

.

Ya que el estimador de m´xima verosimilitud es θ = 1/x, entonces por la observaci´n 5, a o tenemos n 1 sup L(θ; x1 , . . . , xn ) = L(θ; x1 , . . . , xn ) = e−n . x θ∈Θ

1

Adem´s, a sup L(θ; x1 , . . . , xn ) =
θ∈Θ0

        

1 x

ne−n ,
n i=1

1 ≤ θ0 , x
xi

n θ0 e−θ0

,

1 > θ0 . x

De lo anterior se sigue λ=   1,    x≥ 1 , θ0

   (xθ )n en(1−xθ0 ) , x < 1 .  0 θ0 Dado que estamos buscando una prueba de la forma: rechazar H0 si λ ≤ λ0 , con λ0 ∈ (0, 1), 1 entonces excluimos el caso x ≥ . De esta manera, la prueba queda: rechazar H0 si θ0 1 x< y (xθ0 )n en(1−xθ0 ) ≤ λ0 . θ0 Lo anterior esequivalente a rechazar H0 si θ0 x < 1 y (θ0 x)n en(1−θ0 x) ≤ λ0 . Escribimos y = θ0 x y notamos que y n en(1−y) tiene un m´ximo en y = 1 y es creciente en a n n(1−y) (0, 1). De aqu´ y < 1 y y e ı, ≤ λ0 si y s´lo si y ≤ K, para alguna constante K que o satisface 0 < K < 1. Concluimos que una prueba basada en la raz´n de verosimilitudes o generalizada es: Rechazar H0 si y s´lo si X ≤ K/θ0 , o 0 < K < 1.
ni=1

Observaci´n 1 Una prueba de tama˜o α se obtiene recordando que θ0 o n tribuci´n Gamma de par´metros n y 1. As´, o a ı α = sup Pθ (θX ≤ K)
θ≤θ0

Xi tiene dis-

= Pθ0 (θ0 X ≤ K)
n

= Pθ0 (θ0
i=1 nK

Xi ≤ nK)

=
0

1 n−1 −u u e du Γ(n) e−nK (nK)j . j!

n−1

=1−
j=0

En la primera igualdad se us´ que f (θ) = Pθ (θ0 X ≤ K) es continua y f (θ) ≤ f (θ0 ), para o toda θ ≤ θ0 .Estas y otras propiedades de la suma independiente de variables aleatorias exponenciales se pueden ver en el Ejercicio 2 al final de esta secci´n. Por lo tanto, una o prueba de tama˜o α, basada en el cociente de raz´n de verosimilitudes generalizada es: n o RechazarH0 : θ ≤ θ0 si y s´lo si X ≤ Kθ0 , o donde K est´ determinado por P(Y ≤ nK) = α, con Y variable aleatoria Gamma de a par´metros n y...