Razon

RAZON DE CAMBIO
Comenzando por la Razón Instantánea de Cambio de una función cuya variable independiente es el tiempo t.
suponiendo que Q es una cantidad que varía con respecto del tiempo t, escribiendo Q=f(t), siendo el valor de
Q en el instante t. Por ejemplo

El tamaño de una población (peces, ratas, personas, bacterias,)
La cantidad de dinero en una cuenta en un banco
El volumende un globo mientras se infla
La distancia t recorrida en un viaje después del comienzo de un viaje
El cambio en Q desde el tiempo t hasta el tiempo t+"t, es el incremento
La Razón de Cambio Promedio de Q (por la unidad de tiempo) es, por definición, la razón de cambio "Q en Q
con respecto del cambio "t en t, por lo que es el cociente
Definimos la razón de cambio instantánea de Q (porunidad de tiempo) como el límite de esta razón promedio
cuando "t!0. Es decir, la razón de cambio instantánea de Q es
Lo cual simplemente es la derivada f´(t). Así vemos que la razón de cambio instantánea de Q=f(t) es la
Derivada

La interpretación intuitiva de la razón de cambio instantánea, pensamos que el punto P(t,f(t)) se mueve a lo
largo de la gráfica de la función Q=f(t). Cuando Q cambiacon el tiempo t, el punto P se mueve a lo largo da
la curva. Pero si súbitamente, en el instante t, el punto P comienza a seguir una trayectoria recta, entonces la
nueva trayectoria de P corresponde que Q cambia a una razón constante.

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CAPÍTULO 1
RAZÓN DE CAMBIO
La producción de acero en Monterrey N.L. (México) en millones de toneladas, durante el
año de 1992 a partir del mes de enero semuestra en la tabla.
ENE
FEB
MAR
ABR
MAY
JUN
JUL
AGO
SEP
OCT
NOV
DIC
Meses 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Producción
en
millones
de
toneladas
6.7 8.5 8.9 7.8 9.7 10.
5 9.3 11.2 8.8 11.7 11.5 11.9
I) Tomando valores consecutivos, ¿para qué intervalo de meses la producción de
acero fue mayor y de cuánto fue?
II) ¿Podrías calcular con una muy buena aproximación, qué producción huboel 15
de junio?
Con el estudio de este capítulo aprenderás los conceptos de Razón de cambio promedio
y Razón de cambio instantáneo para que los utilices en la solución de diversos
problemas.
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1.1 RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO
En la vida diaria se determinan razones de cambio de diversas situaciones de tipo
natural, Económico, Social. Situaciones en las que nos interesa conocer cuál es el máspequeño (mínimo) o más grande (máximo) valor, como aumenta (crece) o disminuye
(decrece) ese valor, en un intervalo de tiempo específico, en general problemas donde
se estudian fenómenos relativos a la variación de una cantidad que depende de otra, por
lo que se hace necesario describir y cuantificar estos cambios a través de modelos
matemáticos, gráficas y tablas como se muestra en losejemplos siguientes
EJEMPLO
El tiempo total necesario para detener un automóvil después de percibir un peligro, se
compone del tiempo de reacción (tiempo entre el reconocimiento del peligro y la
aplicación del freno). La gráfica 1 muestra las distancias de parada en metros (distancia
que necesita para detenerse totalmente) de un automóvil que viaja a las velocidades
V(m/seg) desde el instanteque se observa el peligro. Una compañía que fabrica autos
realiza pruebas con coches manejados a control remoto y para garantizar que estos
tienen distancia promedio de parada aceptables se plantean las siguientes cuestiones:
0
0.9
1.6
2.7
4.1
6.2
8.8
11.9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
v(m/seg)
d(m)
Si un automóvil viaja a una velocidad de40 m /seg y en esos momentos esta colocada
una barda a 14.0 mts. frente a él, al aplicar el freno ¿choca el auto contra la barda? ¿Por
qué?
I) Completa la tabla de acuerdo a los puntos de la gráfica
Velocidad
v (m/seg) x 0 5 10 15 20 22.5 25 30 35
Distancia
de
parada
d(m)
y 0 1.6 6.2 11.9
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II) ¿Cuál es el tiempo promedio de frenado para valores comprendidos:
a) entre los 20 y 30...