Razon

CAPÍTULO

7
Razones de cambio relacionadas

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Al definir la derivada de una función y D f .x/ en un punto fijo x0 , se explicitó que f 0 .x0 / D lím f .x0 C h/ h!0 h f .x0 / D lím f .x/ x!x0 x f .x0 / y D lím ; x!0 x x0 x0 D h son los incrementos de las

donde y D f .x/ f .x0 / D f .x0 C h/ f .x0 / & x D x variables y & x, respectivamente. Refiriéndonos a estos incrementos podemosdecir que: El incremento y D f .x/ y. El incremento x D x f .x0 / D f .x0 C h/

f .x0 / muestra el cambio que tiene la variable

De esto se desprende que el cociente

x0 D h muestra el cambio que tiene la variable x. y f .x/ D x x f .x0 / f .x0 C h/ D x0 h f .x0 /

es una razón de cambio que muestra la razón entre el cambio que tiene la variable y & el cambio que tiene la variable x. Esdecir, es una razón que compara el cambio de la variable y con respecto al cambio de la variable x. O sea que es una razón que mide el cambio promedio de la variable y, a lo largo del intervalo limitado por x0 & x0 C x. Esto es, es la razón de cambio promedio de la función y D f .x/ con respecto a x, a lo largo del intervalo con extremos x0 & x0 C x.
canek.azc.uam.mx: 22/ 5/ 2008

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2Ahora bien, al escribir lím

Cálculo Diferencial e Integral I

y nos estamos refiriendo a la razón de cambio promedio de la variable x!0 x y cuando se consideran cambios cada vez más pequeños en la variable x. Podemos decir que con este límite se busca una razón de cambio instantánea de la variable y con respecto a la variable x. Es decir, cuando hacemos que la longitud .j x j/ delintervalo limitado por x0 & x0 C x tienda a cero, “la razón de cambio promedio de y" se convierte en “la razón de cambio instantánea de y", por supuesto, con respecto a x. En el caso particular en que la variable independiente es el tiempo t, es usual referirse a la derivada como una velocidad de cambio, en lugar de decir razón de cambio instantánea con respecto a t. Por ejemplo: Si x D .t/ es laposición de un móvil en el instante de tiempo t, entonces dx D 0 .t/ es la dt .t/ en el instante de tiempo t, que es la velocidad

velocidad de cambio de la posición x D instantánea del móvil.

dv D g 0 .t/ es la dt velocidad de cambio de la velocidad v D g.t/ en el instante de tiempo t, que es la aceleración instantánea del móvil. Si v D g.t/ es la velocidad de un móvil en el instante de tiempo t,entonces Supongamos ahora que, en el contexto de un problema, se tiene una función de la que queremos medir y obtener su razón de cambio (su derivada). Es muy problable que dicha función se encuentre relacionada con otras funciones cuyas derivadas (razones de cambio) se conozcan. La estrategia en este caso consiste en encontrar una relación matemática en donde se relacionen las funciones queaparezcan en el contexto del problema. Posteriormente se deriva la expresión matemática mencionada y se obtiene una relación de funciones y razones de cambio (las que se conocen con las que no se conocen). Por último se despeja la razón de cambio deseada que estará en términos de las otras razones de cambio. Se dice entonces que se tiene un problema de razones de cambio relacionadas. En este tipo deproblemas es de vital importancia tener muy claro ¿qué es lo que se pide en el problema? así como, ¿qué es lo que se sabe en el problema? Teniendo claro lo que se pide y lo que se sabe, procedemos a matematizar el problema. Ejemplo 7.1.1 Al arrojar una piedra a un estanque de agua tranquila se forman ondas circulares concéntricas cuyos radios aumentan de longitud al paso del tiempo. Cuando la ondaexterior tiene un radio de 3 m, éste aumenta a una rapidez (velocidad) de 50 cm=s. ¿A qué rapidez (velocidad) aumenta el área del círculo formado por dicha onda? H ¿Qué se pide en el problema? Se pide calcular la rapidez (velocidad) a la que está aumentando el área de un círculo, cuando su radio mide 3 m y la longitud de éste aumenta a razón de 0.5 m/s. Es decir, si consideramos un círculo que...