razonamiento combinatorio

RAZONAMIENTO COMBINATORIO EN ALUMNOS DE SECUNDARIA
V. Navarro-Pelayo, C. Bataner y J. D. Godino
Educación Matemática, 8(1), 26-39, 1996
RESUMEN
En este trabajo se trata de proporcionar algunas respuestas a las siguientes
preguntas: ¿Qué papel juega la Combinatoria en Probabilidad y en Matemática
Discreta? ¿Es la capacidad combinatoria sólo un instrumento matemático o es un
componentefundamental del razonamiento lógico? ¿Hay variables de tarea que afectan
a los procedimiento y errores de los alumnos al resolver los problemas combinatorios?
¿Cómo deberíamos considerar estas variables en la enseñanza y evaluación? Se
presenta, asimismo, un cuestionaro para evaluar el raoznamiento combinatorio y los
resultados obtenidos al aplicarlo a una muestra de 720 alumnos de 14 y 15 años.Esta
información puede ser útil a profesores e investigadores en Educación Matemática
interesados por el análisis combinatorio.
La Combinatoria es un componente esencial de la Matemática discreta, y, como tal,
tiene un papel importante en las matemáticas escolares. En 1970, Kapur, para justificar
la enseñanza de la Combinatoria en la escuela, presentó las razones siguientes, que
todavía sonválidas:
•

•
•

•

Puesto que no depende del Cálculo, permite plantear problemas apropiados para
diferentes niveles; pueden discutirse con los alumnos problemas aún no
resueltos, de modo que descubran la necesidad de crear nuevas matemáticas.
Puede emplearse para entrenar a los alumnos en la enumeración, la realización
de conjeturas, la generalización, la optimización y el pensamientosistemático.
Puede ayudar a desarrollar muchos conceptos, como los de aplicación,
relaciones de orden y equivalencia, función, muestra, conjunto, subconjunto,
producto cartesiano, etc.
Pueden presentarse muchas aplicaciones en diferentes campos, como: Química,
Biología, Física, Comunicación, Probabilidad, Teoría de números, Grafos, etc.

La Combinatoria no es simplemente una herramienta decálculo para la Probabilidad.
Según Piaget e Inhelder (1951), si el sujeto no posee capacidad combinatoria, no es
capaz de usar la idea de Probabilidad salvo en casos de experimentos aleatorios muy
elementales. Mas aún, estos autores relacionan la aparición del concepto de azar con la
idea de permutación y la estimación correcta de probabilidades con el desarrollo del
concepto de combinación. Sianalizamos el uso del diagrama en árbol en Probabilidad y
Combinatoria, podemos también observar que hay una relación entre el espacio
muestral de un experimento compuesto y las operaciones combinatorias. El inventario
de todos los posibles sucesos en dicho espacio muestral requiere un proceso de
construcción combinatorio, a partir de los sucesos elementales en los experimentos
simples.Además de su importancia en el desarrollo de la idea de Probabilidad, la capacidad
combinatoria es un componente fundamental del pensamiento formal. De acuerdo con
Inhelder y Piaget (1955), el razonamiento hipotético-deductivo opera con las
posibilidades que el sujeto descubre y evalúa, por medio de operaciones combinatorias.
Esta capacidad puede relacionarse con los estadios descritos en lateoría de Piaget:

después del período de las operaciones formales, el adolescente descubre
procedimientos sistemáticos de construcción combinatoria, aunque para las
permutaciones es necesario esperar hasta la edad de 15 años. Para estos autores, la
combinación supone la coordinación de la seriación y la correspondencia, la
permutación implica una reordenación respecto a un sistema de referenciamóvil y
reversible; por tanto, las operaciones combinatorias son operaciones sobre operaciones,
características del nivel del pensamiento formal.
En resumen, como Fischbein (1975) señaló, las operaciones combinatorias suponen
algo más una simple parcela de las Matemáticas. Representan un esquema tan general
como la proporcionalidad y la correlación, que emergen simultáneamente a partir...