Razones De Cambio Relacionadas

Razones de cambio relacionadas.
DEFINICION
Al definir la derivada de una función y = f(x) en un punto fijo x0, se menciono que


Donde ∆y = f(x) − f(x0) = f(x0 + h) − f(x0) & ∆x = x − x0 = h son los incrementos de las variables y & x, respectivamente.
Refriéndonos a estos incrementos podemos decir que:
• El incremento ∆y = f(x) − f(x0) = f(x0 + h) − f(x0), nos muestra el cambio que hatenido la variable y
• El incremento ∆x = x − x0 = h, nos muestra el cambio que ha tenido la variable x.
De esto se desprende que el cociente


Es una razón de cambio que muestra la razón entre el cambio que tiene la variable y & el cambio que tiene la variable x.
Es decir, es una razón que compara el cambio de la variable y con respecto al cambio de la variable x.
O sea que es una razón quemide el cambio promedio de la variable y, a lo largo del intervalo limitado por x0 & x0 C x.
Esto es, es la razón de cambio promedio de la función y D f .x/ con respecto a x, a lo largo del intervalo con extremos x0 & x0 C x.

Ahora bien, al escribir nos estamos refiriendo a la razón de cambio promedio de la variable y cuando se consideran cambios cada vez más pequeños en la variable x.Podemos decir que con este límite se busca una razón de cambio instantánea de la variable y con respecto a la variable x.
Es decir, cuando hacemos que la longitud del intervalo limitado por tienda a cero, “la razón de cambio promedio de y" se convierte en “la razón de cambio instantánea de y", por supuesto, con respecto a x.
En el caso particular en que la variable independiente es el tiempo t, esusual referirse a la derivada como una velocidad de cambio, en lugar de decir razón de cambio instantánea con respecto a t. Por ejemplo:
Si es la posición de un móvil en el instante de tiempo t, entonces es la velocidad de cambio de la posición en el instante de tiempo t, que es la velocidad instantánea del móvil.

Si es la velocidad de un móvil en el instante de tiempo t, entonces es lavelocidad de cambio de la velocidad en el instante de tiempo t, que es la aceleración instantánea del móvil.
Supongamos ahora que, en el contexto de un problema, se tiene una función de la que queremos medir y obtener su razón de cambio (su derivada). Es muy problable que dicha función se encuentre relacionada con otras funciones cuyas derivadas (razones de cambio) se conozcan. La estrategia eneste caso consiste en encontrar una relación matemática en donde se relacionen las funciones que aparezcan en el contexto del problema.
Posteriormente se deriva la expresión matemática mencionada y se obtiene una relación de funciones y razones de cambio (las que se conocen con las que no se conocen).
Por último se despeja la razón de cambio deseada que estará en términos de las otras razones decambio.
Se dice entonces que se tiene un problema de razones de cambio relacionadas.
En este tipo de problemas es de vital importancia tener muy claro ¿qué es lo que se pide en el problema? así como, ¿qué es lo que se sabe en el problema? Teniendo claro lo que se pide y lo que se sabe, procedemos a matematizar el problema






PASOS PARA RESOLVER UN PROBLEMA

1. Lea el problema concuidado
2. Si es posible, dibuje un diagrama
3. Introduzca la notación (es decir, asigne los símbolos a todas las cantidades que sean funciones del tiempo).
4. Exprese la información dada y la razón de cambio requerida en términos de derivadas.
5. Escriba una ecuación que relacione las diversas cantidades del problema. Si es necesario, aplique los aspectos geométricos de la situación para eliminaruna de las variables por sustitución.
6. Use la regla de la cadena para derivar los dos miembros de la ecuación con respecto a t.
7. Sustituya la información dada en la ecuación resultante y resuelva para la razón desconocida.













EJERCICIOS

Dos barcos salen simultáneamente de un puerto; uno viaja hacia el sur a una velocidad de 30 km/h y el otro hacia el este a una...