Razones trigonometricas

Circulo trigonométrico
Se le llama círculo trigonométrico aquél cuyo radio vale la unidad. Sean XX’ e YY’ un sistema de ejes coordenados. Tracemos el circulo trigonométrico de manera que su centro coincida con el origen de coordenadas O. Consideremos un ángulo cualquiera (a), en el primer cuadrante y tracemos BD perpendicular a OX, TC perpendicular a OX, AM tal que OX y RS sean perpendiculares aOX.
S
O
B
T
R
D
C
M
X
Y

r= 1

a

A
r

r

O

r

B

GRADOS
Modernamente se considera también a veces a la circunferencia dividida en 400 partes iguales, llamadas “grados centesimales”. Cada grado tiene 100 “minutos centesimales”. Y cada minuto tiene 100 “segundos centesimales”.
RADIANES
En es sistema circular se usa como unidad el Angulo llamado “radian”. Unradian es el ángulo cuyos lados comprenden un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.
Así, a la longitud del arco AB es igual a r, entonces el ángulo AOB es igual a un radian.
Como la longitud de la circunferencia es igual a 2π radios, resulta que un ángulo de 360° equivale a 2 π radianes, es decir: 6.28 radianes, dándole a π valor de 3.14.
Un radian equivale a 57° 18’ (se obtienedividiendo 360° entre 2 π

CONVERTIR GRADOS A RADIANES
Si representamos con una S la medida un ángulo en grados sexagesimales y por R la medida del mismo ángulo en radianes, podemos establecer la siguiente proporción:
S360°=R2π π=3.14;
En radianes presentar un ángulo de 90
S180°=Rπ ; 90180°=Rπ
Por lo tanto
R=90π180°=π2 : como 90 es la mitad de 180 y es igual a π2 se deduce que:30° en radianes. por ser sexta parte de 180 quedaría de la siguiente manera
R=90π180°=π2

45° en radianes. Por ser 4 parte de 180 quedaría de la siguiente manera
R=45π180°=π4
135 ° en radianes. Por ser 34 de 180 quedaría de la siguiente manera
R=90π180°=43 π

Formulas de reducción

La conversión de una función trigonométrica de un ángulo cualquiera en otra función equivalente de unángulo cualquiera en otra función equivalente de un ángulo del primer cuadrante, se llama “reducción al primer cuadrante”
R
Y

B

C
X

D
O

T



Los ángulos que se relacionan en estas reducciones son complementarios y suplementarios por defecto y por exceso y los explementarios por defecto
a) Dos ángulos son complementarios por defecto cuando su suma vale 90° ycomprendemos por exceso cuando su diferencia vale 90°
b) Dos ángulos son suplementarios por defecto cuando su suma vale 180° y su diferencia 180°
c) Dos ángulos son explementarios por defecto cuando su suma vale 360°
A’
A
B
B’
Y
X
0

En este circulo los triángulos rectángulos (BOA) y ( A’OB’) son iguales por tener la hipotenusa y un ángulo agudo iguales (AO=OB') y el ángulo BOA y = alángulo OB’A’). Luego OA' = AB y A'B'=OB.
Las funciones trigonométricas de los ángulos complementarios de los ángulos complementarios a y (90°- a) son:
Sen a = AB. Sen (90°-a) = A'B'=OB.
Cos a = OB Cos (90°- a)= OA'= AB
Tan a = ABOB Tan a= A'B'OA'=OBAB
De aquí se deduce lo siguiente:
Sen (90°-a) = Cos a Cos(90°-a)= sen a
Tan (90°-a)= cot a Cot(90°-a)= tan a
sec(90°-a)=csc a csc (90°-a)= sec a














Y
Funciones trigonometricas del angulo (180°-a)

A’
A

B’

X

B







OA= OA'= r= 1; AB= A'B'; OB'= -OB
Sen a= AB Sen (180°- a)= A'B' = AB
Cos a = OB cos (180°- a)= OB =- OB
Tan a= ABOB tan (180°- a)= A'B'OB= AB-OB
De aquí se deduce que :
Sen (180°- a)= sen a
Cos(180°- a)= -cos a
Tan (180°- a)= - tan a
Y
Funciones trigonometricas del angulo (180°+a)

A

B’

B
O
X




A’
Considerando los triángulos (AOB) y (A’OB’) tenemos:
Sen a =AB sen (180°+a)= A'B'= -AB
Cos a = OB Cos(180°+a)= OB'= - OB'
Tan a = ABOB Tan (180°+a)= A'B'OB'= -AB-OB
De aquí deducimos:
Sen (180°+a) = -sen a csc(180°+a)= -scs a
Cos...