Razones Trigonometricas

Cap´
ıtulo 2
Razones Trigonom´tricas en el
e
Tri´ngulo Rect´ngulo
a
a
En este cap´
ıtulo el ´ngulo α que aparezca debe satisfacer:
a
0 < α < 90◦

2.1.

π
2

Definiciones
B
P
CO

a
O

´ 0 0, ∀α : 0 < α <

π
2

2. Como la hipotenusa es siempre mayor que cada uno de sus catetos, resulta
0 < sen α < 1
0 < cos α < 1
sec α > 1 y cosec α > 1
3. Sabemos que el complementode un ´ngulo es aquel ´ngulo que completa a 90◦ o a
a
a
π
π/2 as´ el complemento de α es 2 − α
ı
4. Se acostumbra a decir que la funci´n coseno es la cofunci´n del seno y viceversa,que
o
o
la funci´n cotangente es la cofunci´n de la tangente y viceversa y que la cosecante es
o
o
la cofunci´n de la secante y viceversa. La relaci´n entre una funci´n y su cofunci´n
o
o
o
o
est´ dadapor:
a
π
funci´n (α) = cofunci´n
o
o
−α
2
De la siguiente figura (Figura 6) se tiene
π
−α
2

cos α = sen

π
−α
2

tg α = cotg

pa

sen α = cos

π
−α
2

cotg α = tg

π
−α
2

2

a

Figura 6

sec α = cosec

Trigonometr´ y geometr´ anal´
ıa
ıa
ıtica

π
−α
2

cosec α = sec

π
−α
2

Luis Zegarra A.

Razones Trigonom´tricas en el Tri´nguloRect´ngulo
e
a
a

2.4.

6

Razones de ´ngulos especiales
a

Vamos a llamar ´ngulos especiales a 30◦ ,45◦ y 60◦ .
a
Para ver las razones trigonom´tricas de 30◦ y 60◦ tomemos un tri´ngulo equil´tero de
e
a
a
lado (l = 2)
√
1
3
◦
◦
◦
cos 30 =
= sen 60◦
sen 30 = = cos 60
2
2
30°
2

2

√

1
tg 30◦ = √ = cotg 60◦
3

°

60

cotg 30◦ =

2
sec 30◦ = √ = cosec 60◦3

3

cosec 30◦ =

3 = tg 60◦

1

1

Figura 6

2
= sec 60◦
1

Para 45◦ , considere el tri´ngulo notable:
a

2
1

1
sen 45◦ = √ = cos 45◦
2
tg 45◦ = 1 = cotg 45◦

45°
1

sec 45◦ =

Figura 6

√

2 = cosec 45◦

Casos l´
ımites
Llamamos casos l´
ımites a los ´ngulos: 0◦ y 90◦
a

Q

a
O

P

Figura 7

Con la Figura 7 y recordando las definiciones delas razones
trigonom´tricas, en forma intuitiva, podemos asumir que para
e
PQ
sen α =
; para α tan peque˜o como se quiera OQ = 0 ∧ P Q
n
OQ
se achica tanto como se quiera, es decir sen 0◦ = 0. Con el
mismo razonamiento obtenemos cos 0◦ = 1, tg 0◦ = 0 y
sec 0◦ = 1.

PQ
Notemos que para el caso de la tangente tg α =
y α aproxim´ndose a 90◦ tanto coa
OP
mo se quiera P Q, creceindefinidamente mientras que OP se mantiene constante, es por
esto que se acostumbra a expresar que: tg 90◦ = +∞ o bien que tg 90◦ no esta definida.
Aceptemos ahora sin previa definici´n rigurosa +∞ simplemente como un s´
o
ımbolo, es
decir una abreviatura de lenguaje.
Sin m´s, aceptemos las siguientes definiciones
a
Trigonometr´ y geometr´ anal´
ıa
ıa
ıtica

Luis Zegarra A.

RazonesTrigonom´tricas en el Tri´ngulo Rect´ngulo
e
a
a
π
=1
2

sec 90◦ = sec

π
=0
2

cotg 90◦ = cotg

sen 90◦ = sen
cos 90◦ = cos
tg 90◦ = tg

2.5.

π
= +∞
2

7

π
= +∞
2
π
=0
2

cosec 90◦ = cosec

π
=1
2

Identidades fundamentales

Recordemos que una identidad matem´tica es una igualdad que siempre es v´lida, para
a
a
todos los valores que puedan tomar las“variables”involucradas.
Ejemplo.

x2 − y 2 = (x + y )(x − y ); ∀ x, y ∈ R

Teorema 1. ∀α : 0 < α < 90◦ , se verifican:
sen2 α + cos2 α = 1

(1)

1 + tg 2 α = sec2 α

(2)

1 + cotg 2 α = cosec2 α

(3)

sen α · cosec α = 1

(4)

cos α · sec α = 1

(5)

tg α · cotg α = 1

(6)

(7)

cotg α =

tg α =

sen α
cos α

cos α
sen α

(8)

Nota:
sen2 α = (sen α)2 , sen2 α =sen α2 = sen (α2 )
cos2 α = (cos α)2 · · · etc.
Demostraci´n.
o
Dado el ´ngulo α, en el tri´ngulo rect´ngulo de la Figura 8.
a
a
a
Del teorema de Pit´goras se tiene que
a
B

a

a2 + b2 = c2
b
a2
+
c
c

C

(sen α)2 + (cos α)2 = 1

c

a
A

b

Figura 8

como c > 0
2

=1
lo que es igual a

sen2 α + cos2 α = 1

Trigonometr´ y geometr´ anal´
ıa
ıa
ıtica...