Razones y proporciones

Razones Y Proporciones
Es la relación que se establece entre dos cantidades de la misma
especie, considerando, al compararlas, qué múltiplo, parte o partes,
es una cantidad de la otra.
Las cantidades A y B se llaman términos de la razón. Al primer término se le llama antecedente e y al segundo consecuente.

Para encontrar qué múltiplo o parte es A de B, dividimos A
por B; porconsiguiente, la razón A : B puede ser medida por la
fracción A/B, notación que es más conveniente usar en la mayoría de
los casos. Para que dos cantidades se puedan comparar deben estar
expresadas en la misma unidad
Así la razón de 2 m a 15 dm, se mide por la fracción 2x10 /15; o sea, 4/3.
PROPORCION
Una proporción es una igualdad entre dos razones. Se escribe de la forma:

Partiendo de la reglaanterior en el caso de alguno de los términos de la proporción no se tengan, se aplica la regla para obtenerlos.
Para comprobar si una proporción es verdadera se aplica producto cruzado.

Ejemplo:
3=12 3 x 16 = 4 x 12 4 16 48 = 48 La proporción sí es verdadera

Exponentes y Radicales
Exponentes
Si n es un entero positivo, la notación exponencial a2 que se define en la tabla,representa el producto del número real a multiplicado n veces por si mismo. La expresión a2 se lee a a la enésima potencia o simplemente a a la n. El entero positivo se llama exponente y el numero real a, base.

Notación exponencial
Caso general
(n es cualquier entero positivo) | Casos especiales |
| |
Ejemplos:

es importante observar que si n es un entero positivo, entonces unaexpresión como 3an significa 3(an) pero no (3a)n. El número real 3 se llama coeficiente de an en la expresión 3an.
Ejemplo

Ahora ampliamos la definición de an a exponentes no positivos.

Exponente cero y negativo
Definición (a diferente de 0) | Ejemplo |
| |

Si m y n son enteros positivos, entonces

En vista de que el número total de factores de a a la derecha es m+n, esta expresión esigual a am+n ; es decir,

De esta forma se puede llegar a las leyes de exponentes que muestran a continuación:
Ley | Ejemplo |
| |
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| |
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 Las leyes de los exponentes pueden generalizarse:

Simplificar una expresión donde hay potencias de números reales, significa cambiarla a otra en que cada numero real aparece solo una vez y todos los exponentes sonpositivos. Teniendo presente que los denominadores representan números reales diferentes de cero.

Simplificar:
a)
       
b)
       

Solución: 
a) 
       

b) 
       

El teorema que viene es útil para la solución de problemas con exponentes negativos.

Simplificación de expresiones con exponentes negativos.

Simplifica: 
               

Solución:
               En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomioconjugados (a - b)(a + b).
La factorización de enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética y la factorización de polinomios (en ciertos contextos) en el teorema fundamental del álgebra.

Factor común
Sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes, y para sacaresto, hay una regla muy sencilla que dice: Cuadrado del primer término más o menos cuadrado del segundo por el primero más cuadrado del segundo, y no hay que olvidar, que los dos que son positivos iguales funcionan como el primer término, sabiendo esto, será sumamente sencillo resolver los factores comunes.
Factor común por agrupación de términos

y si solo si el polinomio es 0 y el tetranomio...