Razones y Proporciones

GUÍA: UNIDAD 1, ÁLGEBRA EN LOS REALES

Área de EET

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UNIDAD 1

Pensamiento:
“ La escala de la sabiduría tiene sus peldaños hechos de números “
Blavatsky

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1. ÁLGEBRA ENLOS REALES

1.1 Razones y Proporciones
Definición

1: Se denomina Razón al cuociente entre dos números o de dos
magnitudes de una misma especie. Se denota por:

a
b

o

∀ a , b ∈ IR , b ≠ 0

a: b

Se lee: “a es a b”
a: antecedente de la razón.
b: consecuente de la razón.
Definición

2: Toda razón tiene un cuociente, denominado Valor de la razón. Este

valor es solo unnúmero, por lo tanto, es independiente de toda unidad
en que estén expresados los términos de la razón.
a
=k
b

Definición

k ∈ IR ,

k = valor de la razón

3: Se llama Proporción a la igualdad de dos razones. Una proporción se

denota por:

a
c
=
b
d

o

a : b = c: d

∀ a ,b, c, d ∈ IR, b ≠ 0, d ≠ 0

Se lee : “a es a b como c es a d ”
Los elementos que componen laproporción se denominan términos de
la proporción. En particular: a, d términos extremos; b, c términos
medios.
Cada uno de estos cuatro términos se llama una cuarta proporcional
respecto de los tres restantes.
Los cuatro términos se dice que son proporcionales.

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Teorema 1:

En toda proporción, el producto de los (términos) extremos es igual
al producto de los (términos)medios.

a c
 =  ⇔ (a⋅d = b⋅c )
 b d

Del teorema 1 se deducen de inmediato las siguientes propiedades:

Propiedades de las proporciones:

ac
=
bd

1) Si

también se cumple:

a)

dc
=
ba

alternar los extremos

c)

bd
=
ac

invirtiendo las razones

e)

a
c
=
a+b c +d

componiendo la proporción con respecto al antecedente.

f)

a+b c +d
=
b
dcomponiendo la proporción con respecto al consecuente

g)

a
c
=
a-b c -d

descomponiendo la proporción con respecto al antecedente

h)

a-b c -d
=
b
d

descomponiendo la proporción con respecto al consecuente

i)

a+b c +d
=
a-b
c-d

componiendo y descomponiendo la proporción

2) Si

b)

d)

ab
=
cd

alternar los medios

ca
=
db

permutando las razonesa = k ⋅ b
ac
= = k , donde k es la constante de proporcionalidad, se cumple : 
bd
c = k ⋅ d

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Definición

4: Una proporción se denomina Proporción Continua si tiene sus

términos extremos o sus términos medios iguales:
ac
=
ba

ab
=
bd

o

En estos casos el término que se repite se denomina Media
Proporcional de los dos términos que quedan. Cada términoque no se

repite: Tercera Proporcional entre los dos que quedan

Definición

5: Una Serie de Proporciones es una igualdad de tres o más razones.

Se denota:
abc
==
de
f

se anota

a:b:c = d:e:f

Se lee: “a es a b es a c como d es a e es a f ”
Observemos que si
abc
= = =k
de
f
tiene:

a:b:c = d:e:f

entonces:

, donde k es la constante de proporcionalidad, y sea = k ⋅ d

b = k ⋅ e
c = k ⋅ f


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1.2 Variación de Magnitudes
Definición

1: Una magnitud variable A varía en forma (Directamente) Proporcional a

la variación de la magnitud B (de igual o distinta naturaleza que A), si y
sólo si:
A=kB

k : Constante de proporcionalidad

Se anota:

A :: B

o

AαB

Gráficamente : La gráfica de y = k x, k > 0, es siempreuna recta que pasa por el

origen. La pendiente de la recta depende del valor de k. Cuanto mayor
sea el valor de k, mayor será la pendiente.
y

y = k x, k > 0

x

Definición 2: Una magnitud variable A varía en forma Inversamente Proporcional a

la variación de la magnitud B (de igual o distinta naturaleza que A), si y
sólo si:
A=k

1
B

Se anota:

k : Constante de...