Razones Y Proporciones

Profesor: Carlos Fortes

Razones y proporciones I

Razones y proporciones (1) Razón: es el cuociente entre dos cantidades. Así la razón entre “a” y “b” se denota por:

a b

ó

a :b

Se lee:

“

“a” es a “b” ” , donde “a” se denomina antecedente

y “b” consecuente. Nótese que en la razón

a , se puede calcular su valor (cuociente), el resultado de éste se conoce como razón by lo podemos expresar de la siguiente manera: Antecedente

a = k b
Consecuente

Razón

Nota: es importante el orden de nombramiento en una razón, ya que en general la razón entre “a” y “b” es distinta a la razón entre “b” y “a”. Ejemplo En un curso de 45 alumnos, 25 son mujeres. Entonces determine: (i) La razón entre el número de mujeres y el total de alumnos del curso. (ii) La razón entreel número de mujeres y de varones de dicho curso. (iii) La razón entre el total de alumnos y el número de varones. Desarrollo: (i) (ii) (iii)

Número de mujeres 25 5 = = Total de alumnos 9 45 9 Número de mujeres 25 5 = = Total de varones 4 20 4 Total de alumnos 45 9 = = Número de varones 4 20 4
9 5

5

ó ó ó

5:9 5:4 9:4
1 

 

Ahora; ¿a qué nos referimos específicamente cuandodecimos 5 es a 4 ( 5 : 4 )? por ejemplo. Bueno, la respuesta es muy sencilla, quiere decir que cada vez que tengamos 5 partes del antecedente tendremos 4 del consecuente, y en conjunto formamos 9 partes. 9

1

2

3 4

1 2

3 4

5

4:5

Proporción: es una igualdad entre dos razones. De esta forma si la razón Así, se tiene que:

a c es igual a la razón , ellas forman una proporción. bd

a c = b d

ó

a :b = c:d

Se lee:

“

“a” es a “b” como “c” es a “d” ” , donde “a” y “d” se

denominan términos extremos y “b” y “d” términos medios.

Teorema Fundamental de las proporciones: en toda proporción, el producto de sus términos extremos es igual al producto de sus medio.

a c = b d

⇔

a⋅d = b⋅c

Como

a c es igual a , podemos escribirlas de la siguientemanera: b d
2 

 

(1) (2)

a c = = r Donde “r” es una constante de proporcionalidad. O bien como: b d
a:b = c:d = r

Por definición de proporción, se tiene:

a c = b d

⇔

a⋅d = b⋅c

⇔
Como

a b = c d

a b es igual a , podemos escribirlas de la siguiente manera: c d
donde “k” es una constante de proporcionalidad.

a c = = k , b d

A partir de esta última expresión,podemos escribir cada razón como: ◘

a = k c b = k d

⇒ ⇒

a = c⋅k b = d ⋅k

◘

En resumen: Si

a c = b d

⇒

⎧ ⎨ ⎩

a = c⋅k b = d ⋅k

con “k”, constante de proporcionalidad.

Ejemplos 1. Determine si la expresión 5 : 2 = 30 : 12 forma una proporción. Para ello, escribimos la expresión en forma de fracción para luego multiplicar cruzado y verificar que se cumpla la igualdad.
3  

5 30 = 2 12

⇔ ⇔

5 ⋅12 = 2 ⋅ 30 60 = 60
∴ se forma una proporción

2. La razón entre dos números es 5 : 7 , y la suma de ambos es 60. Determinar los números. Sean los números “a” y “b”. Entonces:

a 5 = b 7
Además,

⇒

⎧ a = 5⋅k ⎨ ⎩ b = 7⋅k

a + b = 60 5k + 7k = 60

/ Reemplazando “a” y “b” en términos de “k”

12k = 60
k = 60 12

k = 5
Sustituyendo el valor de “k”en la expresión anterior, se tiene:

⎧ a = 5 ⋅ k ⎯⎯ 5 ⋅ 5 = 25 ⇒ a = 25 → ⎪ ⎨ → ⎪ b = 7 ⋅ k ⎯⎯ 7 ⋅ 5 = 35 ⇒ b = 35 ⎩

Propiedades de las proporciones Si

a c , entonces: = b d
i)

a b = c d

/ Si se intercambian los términos medios la proporción se mantiene.

ii)

d b / Si se intercambian los términos extremos la proporción se mantiene. = c a
4 

 

iii)

b d = a c

/ Semantiene la proporción al invertirla.

iv)

c a = / Se mantiene la proporción al permutar su orden. d b a+b c+d = b d
ó

v)

a c = a+b c+d

/ Composición de proporciones.

vi)

a −b c−d = b d a+b c+d = a −b c−d

ó

a c = a −b c−d

/ Descomposición de proporciones.

vii)

/Componiendo y descomponiendo a la vez.

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