razones y proporciones

Razones y proporciones
Definición de Razón: Una razón entre dos cantidades es una comparación entre las cantidades que se realiza mediante un cociente a : b, y se lee aes a  b.
Ejemplo: si las edades de Carlos y Francisco son 12 y 15 años, entonces la razón entre sus edades es:
12 : 15 o . Si simplificamos la fracción obtenemos: 
Definición de proporción: Se denomina proporción a la igualdadde dos razones.
Ejemplo: la igualdad entre estas razones:

Es una proporción, lo que se puede constatar porque los productos cruzados son iguales: 12• 5 = 4• 15
Por lo tanto, la propiedad fundamental de las proporciones es: 
Proporcionalidad directa: Dos variables están en proporcionalidad directa si su cociente permanece constante:

k es la constante de proporcionalidad.
El gráfico dedos variables en proporcionalidad directa es un conjunto de puntos que están sobre una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas. Analizando el gráfico se visualiza que si una magnitud aumenta, la otra también aumenta.


Ejemplo:
Un vehículo en carretera tiene un rendimiento de 16 km por cada litro de bencina. ¿Cuántos litros de bencina consumirá en un viaje de 192 km?
Se forma laproporción entre las variables distancia – consumo de bencina (si aumenta la distancia, entonces se deduce que el consumo aumenta, por lo tanto son directamente proporcionales).

Ocupando la propiedad fundamental de las proporciones obtenemos que:

Entonces,
16/1 = 16 (constante)    y    192/12 = 16 (constante)
Proporcionalidad inversa: Dos variables están en proporcionalidad inversa si suproducto permanece constante:

k es la constante de proporcionalidad.
El gráfico de dos variables que están en proporcionalidad inversa es un conjunto de puntos que están sobre una hipérbola.

Analizando el gráfico se visualiza que a medida que una magnitud aumenta, la otra magnitud disminuye.
Ejemplo: Tres obreros demoran 5 días en hacer una zanja. ¿Cuánto demorarán 4 obreros?
La relaciónentre el número de obreros – tiempo es de proporcionalidad inversa, ya que si trabajan más obreros, entonces se demorarán menos tiempo en terminar el trabajo. Aplicando la propiedad de las proporciones inversas, el producto entre las variables es constante:

Entonces, 3 x 5 = 15 (constante)    y    4 x 3,75 = 15(constante)
Proporcionalidad compuesta: La proporcionalidad compuesta permiterelacionar variables mediante proporcionalidad directa y/o proporcionalidad inversa.
Para resolver ejercicios de este tipo, primero se debe dilucidar qué proporcionalidad existe entre cada par de variables. Posteriormente, se debe determinar la constante de proporcionalidad que nos permitirá determinar si son proporcionales o inversamente proporcionales.
Ejemplo:

Se necesitan 20 obreros parapavimentar 2 km de camino en 5 días. ¿Cuántos obreros pavimentarán 5 km en 10 días?

a) En primer lugar, determinaremos qué tipo de proporcionalidad existe entre las variables.
Sean: obreros (O) – longitud del camino (L):
Estas dos variables están en proporcionalidad directa, ya que entre más obreros, más km de camino se pavimentarán, por lo tanto:
 = contante
b) Por otra parte, las variablesobreros (O) – tiempo (T) están en proporcionalidad inversa respecto de la cantidad de km por pavimentar, ya que entre más obreros, menos tiempo se demorarán en pavimentar el camino.
Por lo tanto, O• T = constante.
De lo anterior se deduce que:
 = contante
Aplicando esta constante de proporcionalidad a los datos dados, tenemos que:

Multiplicando cruzado en esta proporción y despejando xobtenemos:
x = 25 obreros
Entonces, se requieren 25 trabajadores para pavimentar 5 km de camino en 10 días.

Porcentaje: El porcentaje es una proporcionalidad directa en que se considera la totalidad como un 100%.
Por ejemplo, decir que el precio de un artículo ha subido 5% significa que se ha incrementado 5 partes de un total de 100. En términos fraccionarios, se dice que ha subido la 5/100 parte....