Razones Y Proporciones

Tema: Razones y Proporciones
Unidad I : Elementos de Aritmética y Geometría
Competencia: Aplica las propiedades básicas de la aritmética en la solución de problemas de regla de tres simple y compuesta.
Magnitudes
Se le llama magnitud a todo fenómeno o propiedad que puede ser sujeta de medición. Por lo tanto toda magnitud puede ser expresada en cantidades numéricas y su valor en diferentessituaciones puede variar, es decir, la magnitud es variable, por eso también se le identifica simplemente como variable.
Ejemplos de magnitud de superficie:
El salón mide 100 metros cuadrados
La huerta tiene 3 hectáreas
Ejemplos de magnitud de Tiempo:
Trabaja 8 horas diarias
La bala tardó 5 segundos en recorrer esa distancia
Ejemplo de magnitud de Edad:
La joven tiene 15 añosPoblación: El pueblo tiene 15000 habitantes
Longitud: Se necesitan 3 yardas de tela
Se construirá 1 kilómetro de carretera asfaltada
* Observe que a cada magnitud se le asocia un valor numérico y una cierta unidad de medida correspondiente. El área en metros cuadrados o hectáreas. El tiempo en horas o segundos. La edad en años. La población en cantidad de habitantes. Longitud en yardas okilómetros.
Razones
Se llama razón aritmética a la relación de dos cantidades por medio de una diferencia o resto. Por ejemplo la razón aritmética de 6 y 4 es 2 porque 6 – 4 = 2. Esta razón se escribe 6:4 y se lee “6 es a 4”; al 6 se le llama antecedente y al 4 consecuente.
Cuando se tiene la igualdad de dos razones aritméticas se dice que se tiene una proporción aritmética. Así, conforma una razónaritmética el siguiente ejemplo que se lee “5 es a 2 como 10 es a 7”:
5:2::10:7
Esta es una proporción aritmética porque sus razones son iguales a 3: 5-2 = 10-7.
Se llama razón, propiamente razón geométrica, a la comparación de dos cantidades por medio de un cociente, es decir, la razón es el cociente de dos expresiones numéricas.
Por ejemplo, si queremos establecer la razón entre la edad ede una persona y su peso p, escribimos la razón ep la que leeremos como “e es a p”.
Similar a las razones aritméticas, en la razón geométrica, a la magnitud e se le conoce como antecedente y a la p como consecuente.
Así, si la persona tiene 24 años y pesa 60 kilogramos, la razón es 2460 , que al compararlas se lee “24 es a 60”.
Proporción geométrica
Cuando dos razones geométricas secomparan a través de una igualdad, entonces se establece una proporción geométrica. Así, se le llama proporción a la igualdad de dos razones.
Si se tienen dos razones ab( se lee “a es a b”) y cd (“c es a d”) que son iguales, entonces ellas forman una proporción que se denota como ab=cd
Otra forma de escribir esta proporción es a : b : : c : d y siempre se lee “a es a b como c es a d”.
Por ejemplo,las razones “12 es a 30” y “4 es a 10” constituyen una proporción geométrica puesto que el cociente de 12 y 30 es igual al cociente de 4 y 10: 0.4
1230=410=0.4
En la proporción a : b : : c : d, se le llama medio a las cantidades b y c; se les llama extremos a las cantidades a y d.
Propiedad fundamental de las proporciones geométricas.
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En todaproporción geométrica siempre se cumple que el producto de los extremos siempre es igual al producto de los medios.
En el ejemplo de proporción 1230=410 , se cumple que al multiplicar los extremos 12 y 10, obtenemos el mismo valor 120 que al multiplicar los medios 30 y 4.
A partir de la propiedad fundamental podemos derivar que uno de los extremos será igual al producto de los medios divididopor el otro extremo, así en este ejemplo, 12 = 30x4 / 10 y también 10 = 30x4 / 12.
De forma similar, uno de los medios es igual al producto de los extremos dividido por el otro medio. Por ejemplo, 4 = 12 x 10 / 30. También se cumple que 30 = 12 x 10 / 4.
Cuando en una proporción los medios son iguales, entonces se dice que se trata de una proporción continua. A estos medios iguales se les...