Razones2015


RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
APLICACIONES
ÁREA
MATEMÁTICAS


PERÍODO
01


FECHA:
23 de febrero de 2015

MUNICIPIO DE MEDELLÍN
GRADO 10
LOGROS:

Resolver problemas de aplicación sobre ángulos, longitud de un arco, área de un sector circular y de un círculo.

Dibujar la circunferencia unitaria, el ángulo o arco correspondiente y determinar el punto trigonométrico asociado a éste.

Construye ydefine las funciones trigonométricas en circunferencias de radio distinto de uno y en el triángulo rectángulo.

Determina el signo de las funciones trigonométricas de un ángulo dado en posición normal.

Halla las funciones trigonométricas de un ángulo dado en posición normal.

Determina geométricamente las funciones trigonométricas de los ángulos notables y aplicarlos en la solución de ejercicios devalor numérico.

Aplica las funciones trigonométricas en la solución de problemas que originan triángulos rectángulos.

PUNTO TRIGONOMÉTRICO:

En adelante, los puntos que pertenecen a la circunferencia se llamarán Puntos Trigonométricos.

NOTA: Si el ángulo es mayor de , entonces seguimos dando vueltas hasta completar el ángulo deseado; sin embargo, cuando esto ocurre los puntos trigonométricosasociados se repiten. Por lo tanto

ÁNGULO DE REFERENCIA:

Para todo ángulo  en posición normal, el ángulo de referencia de , denotado , es el ángulo positivo, menor de , formado por el lado final de y el eje .

CUADRANTE
ÁNGULO DADO
ÁNGULO DE REFERENCIA
I



II



III



IV




ÁNGULOS COTERMINALES:

Ángulos en posición normal con el mismo lado final, se denominan coterminales. Por ejemplo losángulos de 45°, 405° y -315°.

RAZONES TRIGOMOMÉTRICAS:

HIPOTENUSA: es la recta que une el punto trigonométrico y el origen de las coordenadas. Es el lado que se opone al ángulo recto en un triángulo rectángulo.

CATETO OPUESTO: segmento de recta perpendicular que une el punto trigonométrico y el eje de las x.

CATETO ADYACENTE: segmento de recta perpendicular que une el cateto opuesto y elorigen de coordenadas.

Dada una circunferencia de radio r = 1 (circunferencia unitaria), si tomamos un arco AP,  donde A es un punto del semieje positivo de las x y P(x, y), el punto del extremo, se definen las razones trigonométricas del ángulo en la forma:

Seno :    sen  =
Coseno :    cos  =

Tangente :    tan  =

Cotangente :    cot  =

Secante :    sec  =
Cosecante :    csc  =x2+ y2=1

NOTA: Como en el círculo unitario a cada ángulo le corresponde uno y solo un punto trigonométrico, se dice también que estas razones son funciones trigonométricas.

De igual forma, Se puede calcular las razones trigonométricas entre los lados de un triángulo rectángulo, pero exterior a la circunferencia, donde se tiene la posibilidad de nombrar el cateto opuesto y el cateto adyacentedependiendo del ángulo elegido y diferente de 90°, puesto que opuesto a éste ángulo se tendrá la hipotenusa concluimos que:



FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE 30°, 45° Y 60°

Propiedades Geométricas:

1. En todo triángulo rectángulo isósceles, la longitud de la hipotenusa es veces la longitud de cualquiera de los catetos.

2. En cualquier triángulo rectángulo cuyos ángulos agudos miden 30° y 60°,se cumple que el cateto opuesto al ángulo de 30° mide la mitad de la hipotenusa.

3. En cualquier triángulo rectángulo cuyos ángulos miden 30° y 60°, se cumple que el cateto opuesto al ángulo de 60° mide veces la longitud de la hipotenusa.









F.T. DE 30° F.T. DE 45° F.T. DE 60°

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NEGATIVOS:

1. El Seno de un ángulo negativo y el Seno de un ángulopositivo tienen igual valor numérico pero distinto signo; es decir: Sen (-)= - Sen ()

2. El coseno de un ángulo negativo y el coseno del mismo ángulo positivo tienen igual valor numérico e igual signo; es decir: Cos (-) = Cos ()

3. La tangente de un ángulo negativo y la tangente del mismo ángulo positivo tienen igual valor numérico pero distinto signo; es decir: Tan (-)= - Tan ()...