raíces de ecuaciones

UNISANGIL - MÉTODOS NUMÉRICOS – Prof. Ing. Edgar Romero Rodríguez - Feb - 2005

1 RAICES DE ECUACIONES
DEFINICIÓN:
La raíz de una ecuación es aquel valor de la variable independiente que hace que el
resultado de la ecuación sea cero o por lo menos se acerque a cero con una cierto
grado de aproximación deseado (error máximo permitido).
OBJETIVOS:
Al terminar esta unidad de estudio, elestudiante estará en capacidad de:
Aprender el concepto de raíz de una ecuación
Comprender las distintas técnicas usadas para hallar raíces de ecuaciones
Evaluar la confiabilidad de cada método
Estar en capacidad de elegir el mejor método para aplicarlo en la solución de
problemas de ingeniería, relacionados con la búsqueda de raíces de una
ecuación.

1.1 MÉTODOS BASADOS EN INTERVALOS
Sucaracterística fundamental es que se elige un intervalo [a, b] dentro del cual se
encuentre la raíz buscada. No hay una regla a seguir para la selección de este
intervalo, sin embargo, se debe cumplir que en los extremos del intervalo la función
cambie de signo lo cual que equivale a que: f(a)*f(b) < 0. Una primera aproximación
a la solución se logra al elaborar un modelo gráfico de la ecuación ya partir de él, por
simple inspección, seleccionar el intervalo más adecuado.
f(x)

f(x)

f(x)

f(x)

a
a
b x
b x
No hay raíces o existe un número par de ellas
a

b x

a

Existe un número impar de raíces

f(x)

bx

a

b

x

Tangente al eje x

Figura 1. Raíces en diferentes intervalos.
Si al evaluar la función, en los extremo del intervalo elegido, presenta igualsigno puede
no existir raíces o existir un número impar de ellas. Si la función cambia de signo esto
nos indica que al menos hay una raíz en dicho intervalo. Los casos que requieren
análisis especial se presentan cuando la función tiene puntos tangentes al eje x o
cuando tiene discontinuidades.

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UNISANGIL - MÉTODOS NUMÉRICOS – Prof. Ing. Edgar Romero Rodríguez - Feb - 20051.1.1

Criterio de convergencia. Se considera que se ha encontrado una
respuesta satisfactoria cuando el valor hallado para la variable faltante (x) cumple con
alguno de los siguientes criterios:
| X r - X r -1 |
f(x) < Tol ; ó
≤ Tol
Xr

Siendo Xr, y Xr-1 los valores de las dos últimas iteraciones y Tol es el nivel máximo de
error aceptado que se puede definir ya sea con base en elnúmero de cifras
significativas (NCS) Tol = 5x10-(NCS+1) o en el número de cifras decimales (ND) que se
desea obtener, Tol = 5x10-(ND+1). Otro criterio para terminar el proceso es que se
exceda el número máximo de iteraciones propuesto, en cuyo caso lo más probable es
que la solución no esté convergiendo hacia un valor determinado (cada vez se aleja
más del valor estimado), por lo tanto se debeprobar con otra estrategia de solución o
revisar muy bien lo cálculos matemáticos realizados para ver si no se están cometiendo
errores en el proceso.

1.1.2

Método gráfico.

Lo esencial en este método es poder construir un
modelo gráfico de la ecuación y luego por inspección estimar una aproximación a la
raíz.
El mayor inconveniente de éste método es su poca precisión y exactitud.Sin embargo,
hoy día se cuenta con excelentes herramientas de software para realizar rápidamente
gráficas con un alto grado de realismo. El primer problema a resolver es ¿que intervalo
usar para construir la gráfica? No hay regla que nos diga como hacerlo, por eso lo
mejor es probar con varios intervalos hasta encontrar el más adecuado, no obstante es
importante considerar las característicasparticulares del problema que vamos a
resolver, ya que eso nos dará una idea del rango de posibles soluciones, por ejemplo si
queremos hallar una magnitud física como velocidad, distancia, masa, etc., sabemos
que no tiene sentido probar con valores negativos, por lo tanto podemos graficar
rangos a partir de cero.
Como ejemplo consideremos las funciones: f(x) = seno(3x) + Cos(x) y f(x) = ex...