Raíces Históricas de la Geometría Analítica

ENSAYO “RAÍCES HISTÓRICAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA”

INTRODUCCIÓN

A lo largo de la historia, las aportaciones que le han dado al mundo grandes matemáticos como los griegos y después Fermat y Descartes hasta llegar a lo que conocemos hoy como Geometría Analítica, han requerido de siglos de razonamiento hasta llegar a reconciliar la Geometría con el Álgebra para la solución de problemas demanera sencilla.

La Geometría Analítica asocia pares de números a puntos y ecuaciones a curvas, así como las relaciones, vínculos y operaciones entre los elementos del Álgebra y la Geometría. Además para cada curva la Geometría Analítica establece también una correspondencia entre la propiedades algebraicas y analíticas de la ecuación y las propiedades geométricas de la curva asociada. Paraprobar un teorema es muy eficiente el Álgebra utilizando el cálculo Analítico.



DESARROLLO

Para comprender el nacimiento de la Geometría Analítica de Fermat y Descartes que dieron un gran salto en la Historia de la Matemática, es necesario comprender el razonamiento que adoptó la Geometría griega con Euxodo que impulsa la Geometría al margen de la Aritmética, impidiendo el desarrollode un Álgebra en sentido algorítmico y simbólico, limitando la introducción de nuevas curvas a su construcción mediante la intersección de superficies o lugares geométricos definidos a través de relaciones de áreas o longitudes, en forma de proporción, y no por medio de ecuaciones. La estructura que adopta esta Matemática se llama el Álgebra Geométrica de los griegos, en la que los números sonsustituidos por segmentos de recta y las operaciones entre ellos se llevan a cabo mediante construcciones geométricas. Esta teoría desarrolla una resolución de ecuaciones muy compleja que se llama el método de Aplicación de las Áreas.

Lo que se plantearon y resolvieron Fermat y Descartes con el concurso del Arte Analítica de Vieta, al establecer que una ecuación arbitraria en dos cantidadesindeterminadas, proporciona, con respecto a un sistema dado de coordinadas, una curva en este plano. La vertiente opuesta establece que una curva plana tiene asociada, con respecto a un sistema dado de coordinadas, una ecuación en dos cantidades indeterminadas.
Los griegos dividían las proporciones geométricas en tres tipos: teoremas, problemas y porismas, según que hubiera que demostrar, construiro encontrar algo. Existió un pensador griego muy importante llamado Apolonio, del cual la obra más importante es Las Cónicas que supera lo que con anterioridad habían escrito Menecmo, Aristeo y Euclides, donde demuestra que de un cono único pueden obtenerse los tres tipos de secciones, variando la inclinación del plano que corta al cono, lo cual era un paso importante en el proceso de unificarel estudio de los tres tipos de curvas. Apolonio le dio significado a los nombres de elipse, parábola e hipérbola, términos que procedían del lenguaje pitagórico de la solución de ecuaciones cuadráticas del método de Aplicación de las Áreas. Las cónicas serían descritas a través de relaciones de áreas y longitudes, guardando una gran similitud con los de la Geometría Analítica. La granaportación de Apolonio en la historia, consiste en la aplicación de coordenadas al estudio de las propiedades de las curvas.

Dos problemas históricos importantes de gran incidencia sobre la Geometría Analítica de Descartes se originan en la obra de Apolonio: el Problema de Apolonio "Dados tres elementos, punto, recta o circunferencia, trácese una circunferencia que sea tangente a cada uno de lostres" y el Problema de Pappus o "lugar geométrico determinado por tres o cuatro rectas" "Dadas tres rectas de un plano, encuéntrense el lugar geométrico de un punto que se mueve de forma que el cuadrado de la distancia a una de las tres rectas es proporcional al producto de las distancias a las otras dos, si las distancias se miden en direcciones tales que formen ángulos dados con las líneas...