REACCIONES A ETIMULOS

INTRODUCCIÓN
El presente proyecto se plantea un modelo matemático para los niveles de
reacción del organismo frente a un estímulo.
Nuestros órganos sensoriales son los responsables de un gran rango de
estímulos. Por ejemplo, el oído detecta sonidos que se encuentran en un
rango de intensidad de presión entre 0,0002 dinas/cm2 y 2000 dinas/cm2. Esto
significa que nuestro oído puede detectarsonidos desde el tic-tac de un reloj
hasta el ruidoso sonido de un jet.
Se comienza planteando el modelo de correspondencia lineal entre el
estímulo y la reacción del organismo ante dicho estímulo. Posteriormente se
plantea un modelo más realista en donde la dicha correspondencia está dada
de forma exponencial, y cuyos resultados se acercan más a la realidad.
Los resultados obtenidos semuestran en la figura.

I.

INFORMACIÓN DEL PROYECTO
a.

Problema:
¿Es posible plantear un modelo matemático para determinar la magnitud
de las reacciones del organismo frente a los estímulos?

b.

Hipótesis
Usando las integrales es posible plantear un modelo matemático para
determinar la magnitud de las reacciones del organismo frente a los
estímulos.

c.

Objetivos


General

Plantear un modelo matemático para determinar la magnitud
de las reacciones del organismo frente a los estímulos.



Específicos


Determinar la gráfica de las reacciones para ciertos estímulos
específicos.

II.

MARCO TEÓRICO
Sea la ecuación:
dy
 f  y g  x
dx

(1)

La solución de la ecuación mostrada es hallada por medio dela separación de variables,
obteniendo:dy

 f  y    g  x  dx
Dadas las funciones específicas, se puede integrar cada lado de la ecuación.
Ejemplo:
Si f  y   1

y

 y  0  , g  x    x , entonces:

 ydy   xdx
1

(2)

Integrando,

1 2
1
y   x 2  A , donde A es una constante de integración.
2
2

Si además y  1 cuando x  1 , entonces 2A  2 y x 2  y 2  2 y la solución es un
círculo,centrado en el origen y de radio

2 , como se ilustra en la figura 01.

Figura 01 Solución de la curva para

III.

dy
x
  , y  1  1
dx
y

DESARROLLO DEL PROYECTO
El primer modelo matemático para describir la respuesta, R , a un estímulo

S , fue dado por el fisiólogo Alemán Gustav Fechner (1801-1887). El modelo
puede ser escrito en forma diferencial como:
dR k

dS S(3)

Donde k es una constante positiva. Esta ecuación implica que el
incremento de la reacción para iguales incrementos del estímulo decreces
conforme el estímulo aumenta. Por ejemplo un pequeño ruido cuando
estamos recostados en una noche tranquila y silenciosa, es relativamente
significante como el mismo ruido que haría los carros en un día bastante
agitado y con mucho tráfico.
La ecuación(3) es una ecuación diferencial separable y la solución puede
ser escrita como:
2

k

 dR   S dS
R  k ln S  A

(4)

Donde A es una constante de integración. Ahora, sea S0 el más bajo nivel
de estímulo que puede ser conscientemente detectados. A este valor también
se lo conoce como umbral. Como ejemplo podemos tomar el tic-tac de un
reloj a 20 pies de distancia en condicionesmuy silenciosas.

Estímulo

Umbral de Detección

Luz

La flama de una vela a 30 millas de distancia en una noche
totalmente oscura.

Sabor

Azúcar diluida en agua en razón de 1 cucharada dos
galones.

Olor

Una gota de perfume diluida en un volumen de tres
cuartos promedio.

Tacto

El ala de una abeja que cae por el cachete desde una
distancia de 1 centímetro.

Se tomacomo que la reacción umbral es cero, esto es: R  0   0 . Usando
esta expresión en (3.4) tenemos: A  k ln  S0  y finalmente:

S 
R  k ln  
 S0 
Usa solución típica es ilustrada en la figura 2. Claramente los parámetros

k

y

dependen del tipo

S0

de estímulo y

del individuo.

3

Figura 02: Reacción a estímulos
Como se esperaba la solución es tal que el...