reales

ESTRUCTURA DE LOS NÚMEROS REALES

Breve historia de los sistemas numéricos.

El concepto de número es el resultado de un proceso de evolución del concepto de número que abarca miles de años. En este proceso, distintos sistemas numéricos han tenido su origen y desarrollo ligados a problemas importantes cuyo estudio, desde la escuela elemental, nos ha permitido relacionarnos con ellos.Mencionemos rápidamente algunos de dichos problemas.

El primero de ellos es el del conteo. En este contexto surgen los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, ..., cada uno de los cuales hace referencia a la “cantidad” de elementos de un conjunto. El símbolo se usa para nombrar dicho conjunto, llamado el conjunto de los números naturales. En el conteo puede ser útil el uso del número 0, así su apariciónhistóricamente tardía se haya dado dentro de un proceso diferente: el de la escritura de los números; cabe recordar que su introducción significó una transformación radical de la escritura de los números al permitir el surgimiento de la “notación posicional”. Llamaremos a la unión de los naturales con el número cero ; así docho conjunto es .

Un segundo problema importante en ese proceso esel de medición. En este contexto surgen las nociones de unidad de medida y fracción o razón entre dos números naturales: 1/2, 1/3, 3/4, 37/3, etc. El conjunto de todas estas razones es el de los números racionales positivos, el cual se denota . Si por ejemplo se escoge un segmento como unidad de medida, la comparación de otro segmento con dicha unidad puede arrojar el siguiente resultado: Alsumar “ veces” la n-ésima parte de la unidad, se obtiene el segmento , entonces se dice que la medida de , con respecto a es “ veces ” lo cual se denota . Para medir el área de una superficie rectangular se usa como unidad de medida un cuadrado cuyos lados tienen como medida la unidad de longitud. Entonces un rectángulo cuyos lados midan y siendo y números naturales, puede ser“recubierto” por cuadrados unitarios, por lo que se dice que su área es veces la unidad de área . Además, si los lados de un rectángulo miden y , siendo números naturales, entonces;

i. El cuadrado unitario puede ser recubierto por rectángulos de igual tamaño, por lo que se podrá decir que el área de cada uno de ellos es ;
ii. Usando de tales rectángulos, se podré recubrir el rectánguloinicial, por lo cual se podrá decir que su área es veces o . este hecho sugiere la conveniencia de definir la multiplicación de fracciones de la siguiente manera: . Con esta definición, la operación con fracciones se hará ahora de manera algorítmica, permitiendo por ejemplo, “simplificar” o “amplificar” fracciones: . Por otra parte del problema de sumar segmentos sugerirá la conveniencia dedefinir la suma de fracciones con igual denominador , lo que a su vez sugerirá que para sumar fracciones con distinto denominador es conveniente transformarlas en fracciones con el mismo denominador .

Un tercer problema importante en la historia del concepto de número es el de la insuficiencia de los números racionales positivos para resolver ciertos problemas de medición. Por ejemplo, si enun triángulo rectángulo isósceles se toma como unidad de medida la longitud de uno de los catetos entonces la longitud de la hipotenusa es, por el Teorema de Pitágoras, ; el problema aquí es el de la medida de la hipotenusa, con respecto a dicha unidad, no es expresable como la razón entre dos números naturales; en otros términos no es expresable de la forma donde y son númerosnaturales. Por lo tanto, no es racional.

Uno de los problemas de medición de segmentos es poder disponer de una medida para cada segmento, para medirlos a todos, con respecto a una unidad de medida dada. Por tal motivo llamaremos provisionalmente números reales positivos a las medidas de todos los segmentos. Esto significa que las medidas del segmento unidad y de cualquier suma finita de él consigo...